Zależności między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

Klasa 2PodstawaZależności trygonometryczne

Zależności trygonometryczne pozwalają policzyć jedną funkcję kąta, gdy znasz inną. Najważniejsze są: sin²α+cos²α=1, tg α=sin α/cos α oraz zależności dla kątów dopełniających.

⏱ ~25 min

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

Po co Ci ten temat?

Nie zawsze w zadaniu dostajesz idealny trójkąt i wszystkie boki. Czasem masz tylko informację typu $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ i trzeba policzyć $\cos\alpha$ albo $\operatorname{tg}\alpha$ . Wtedy nie zgadujesz z tabeli — używasz zależności między funkcjami. Kilka wzorów załatwia mnóstwo zadań, jeśli wiesz, kiedy który odpalić.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Funkcje trygonometryczne tego samego kąta są ze sobą powiązane — to nie osobne byty do wkucia. Najważniejsza tożsamość (jedynka trygonometryczna):

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\qquad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1

Wzór na $\operatorname{tg}$ wymaga $\cos\alpha\neq 0$ , a na $\operatorname{ctg}$ — $\sin\alpha\neq 0$ (dla kąta ostrego oba są spełnione automatycznie, bo $\sin\alpha,\cos\alpha>0$ ).

Dla kątów dopełniających (suma $90^\circ$ ):

\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha

Klucz dla kąta ostrego: $\sin\alpha>0$ i $\cos\alpha>0$ , więc przy pierwiastkowaniu wybieramy dodatni wynik — np. z $\cos^2\alpha=\tfrac{16}{25}$ piszemy $\cos\alpha=\tfrac{4}{5}$ , a nie $\pm\tfrac{4}{5}$ .

Gdy znasz…	Liczysz…	Wzór
$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
$\sin\alpha$ i $\cos\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
$\operatorname{tg}\alpha$	$\operatorname{ctg}\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$
$\sin 20^\circ$	$\cos 70^\circ$	$\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$

Mapa zależności trygonometrycznych — sin²α+cos²α=1 centralnie, przejścia sin↔cos, tg=sin/cos, ctg=cos/sin, dopełniające 90°−α — Mapa przejść między funkcjami: z sin policzysz cos (i odwrotnie) przez sin²α+cos²α=1, z sin i cos policzysz tg/ctg, a 90°−α zamienia funkcję na dopełniającą.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Zobacz, co jest dane ( $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ czy $\operatorname{ctg}$ ) i czego szukasz.
Szukasz $\sin$ albo $\cos$ → użyj $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ .
Szukasz $\operatorname{tg}$ albo $\operatorname{ctg}$ → użyj ilorazu $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ albo odwrotności.
Pamiętaj: dla kąta ostrego $\sin\alpha,\cos\alpha>0$ → bierzemy dodatni pierwiastek.
Kąty typu $90^\circ-\alpha$ → użyj zależności dopełniających.
Uprość ułamki i pierwiastki, a na końcu sprawdź $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ .

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (trójkąt 3–4–5). Kąt ostry \alpha , \sin\alpha=\tfrac{3}{5} .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Zostawienie \pm przy kącie ostrym. Z \cos^2\alpha=\tfrac{16}{25} wynika \cos\alpha=\tfrac{4}{5} (nie \pm ), bo dla kąta ostrego \cos\alpha 0 (i tak samo \sin\alpha 0 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na PP często dostajesz jedną wartość funkcji trygonometrycznej i prośbę o inną. Zwykle da się to zrobić bez rysunku, ale układy 3 – 4 – 5 , 5 – 12 – 13 albo 8 – 15 – 17 bardzo pomagają.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość