Wielokąty wpisane i opisane na okręgu

Klasa 2PodstawaWpisany vs opisany

Wielokąt wpisany ma wszystkie wierzchołki na okręgu, a wielokąt opisany ma wszystkie boki styczne do okręgu. W zadaniach najważniejsze jest od razu rozpoznać, czy pracujesz z promieniami do wierzchołków, czy z promieniami do punktów styczności.

⏱ ~26 min

Po co Ci ten temat?

Wielokąty wpisane i opisane wyglądają podobnie, ale w zadaniach uruchamiają zupełnie inne informacje. Maturzyści często tracą punkty nie na rachunkach, tylko na złym rozpoznaniu sytuacji z rysunku. Klucz: zobacz, co leży na okręgu — wierzchołki czy boki.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wielokąt wpisany w okrąg: wszystkie wierzchołki leżą na okręgu (okrąg jest wtedy opisany na wielokącie; promienie prowadzą do wierzchołków).

Wielokąt opisany na okręgu: wszystkie boki są styczne do okręgu (okrąg jest wtedy wpisany w wielokąt; promienie do punktów styczności są prostopadłe do boków).

Dwa diagramy — czworokąt wpisany (wierzchołki na okręgu) i czworokąt opisany (boki styczne do okręgu) — Wpisany: wszystkie wierzchołki leżą na okręgu. Opisany: wszystkie boki są styczne do okręgu. To sytuacje odwrotne.

Typ	Co leży na okręgu?	Najczęstsza własność
wielokąt wpisany	wierzchołki	kąty wpisane, równe promienie
wielokąt opisany	punkty styczności na bokach	promień prostopadły do boku

Czworokąt wpisany w okrąg — suma przeciwległych kątów:

\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ

Czworokąt ABCD wpisany w okrąg z wyróżnionymi przeciwległymi kątami A i C, suma 180 stopni — Czworokąt wpisany w okrąg: suma przeciwległych kątów wynosi 180° (∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°).

Czworokąt opisany na okręgu — własność sum przeciwległych boków:

a+c=b+d

To własność czworokąta opisanego (warunek konieczny: jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy przeciwległych boków są równe) — nie używaj tej równości jako testu dla dowolnego czworokąta.

Czworokąt opisany na okręgu, punkty styczności, boki a b c d, promienie prostopadłe do boków, a+c=b+d — Czworokąt opisany na okręgu: sumy przeciwległych boków są równe (a+c=b+d). Promienie do punktów styczności są prostopadłe do boków.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Najpierw rozpoznaj typ: wierzchołki na okręgu → wpisany; boki styczne → opisany.
Wpisany → zaznacz wierzchołki i pracuj na kątach (przeciwległe $=180^\circ$ ).
Opisany → zaznacz punkty styczności, dorysuj promienie prostopadłe do boków, użyj $a+c=b+d$ .
Wielokąt foremny → podziel na trójkąty równoramienne lub prostokątne.
Na końcu sprawdź, czy użyta własność pasuje do typu wielokąta.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (wpisany — kąty). Czworokąt ABCD wpisany w okrąg, \angle A=72^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Mylenie „wpisany” z „opisany”. Wpisany = wierzchołki na okręgu; opisany = boki styczne do okręgu (sytuacje odwrotne).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Dostajesz rysunek z czworokątem i okręgiem; pytanie o brakujący kąt, bok albo uzasadnienie. Najważniejszy ruch to rozpoznanie typu: wierzchołki na okręgu → wpisany; boki styczne → opisany.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość