Równanie okręgu — zadania maturalne

Klasa maturalnaMatura PPŚrodek i promieńDopełnianie kwadratu

Okrąg w układzie współrzędnych rozpoznajesz po schemacie (x−a)²+(y−b)²=r². W zadaniach maturalnych najważniejsze jest odczytanie środka, promienia i sprawdzenie relacji z prostą albo punktem.

⏱ ~32 min

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W zadaniach z okręgu CKE sprawdza przejście od równania do geometrii: środek, promień, punkt na okręgu, styczność lub przecięcie z prostą.

(x-a)^2+(y-b)^2=r

Element	Co oznacza?
$S=(a,b)$	środek okręgu
$r$	promień ( $r>0$ )
punkt $P(x,y)$	leży na okręgu, jeśli spełnia całe równanie
prosta i okrąg	$0$ , $1$ albo $2$ punkty wspólne

Poziom: samo równanie to PP; parametr, styczność i układ prosta–okrąg to PR.

Znak w nawiasie jest przeciwny: $(x-2)^2 \Rightarrow a=2$ , ale $(y+1)^2=(y-(-1))^2 \Rightarrow b=-1$ . Po prawej stronie jest $r$ , więc $r=\sqrt{r$ (np. $r$ , nie $25$ ).

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak rozwiązać zadanie z okręgiem

Doprowadź do postaci kanonicznej

(x−a)²+(y−b)²=r²; z ogólnej dopełnij kwadraty

Odczytaj S i r

znak w nawiasie przeciwny; r=√(prawa strona)

Punkt na okręgu?

podstaw obie współrzędne do całego równania

Prosta a okrąg

policz d(S • prosta) i porównaj z r

Zlicz punkty wspólne

d<r sieczna (2) · d=r styczna (1) · d>r brak (0)

Okrąg ze środkiem S(a,b), promieniem r i punktem P na okręgu, oraz trzy mniejsze okręgi z prostą — d większe od r rozłączna (0 punktów), d równe r styczna (1 punkt), d mniejsze od r sieczna (2 punkty) — Równanie (x−a)²+(y−b)²=r² to geometria: odczytaj środek S i promień r. Położenie prostej ocenisz przez odległość środka od prostej d: d>r rozłączna, d=r styczna, d<r sieczna.

Przykład

Przykład 1 — odczyt środka i promienia

$(x-2)^2+(y+1)^2=25$ . Porównujemy z postacią standardową:

a=2,\quad b=-1,\quad r

Przykład

Przykład 2 — punkt na okręgu

Czy P=(5,3) leży na (x-2)^2+(y+1)^2=25 ? (5-2)^2+(3+1)^2=9+16=25 \;\checkmark Tak — punkt spełnia całe równanie, więc leży na okręgu.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — postać ogólna (dopełnianie kwadratów)

x^2+y^2-4x+2y-20=0 . Grupujemy i dopełniamy: (x^2-4x)+(y^2+2y)=20 \Rightarrow (x-2)^2-4+(y+1)^2-1=20 (x-2)^2+(y+1)^2=25 \Rightarrow S=(2,-1),\ r=5 ⚠️ Po dopełnieniu kwadratów prawa strona musi być dodatnia ( r^2 0 ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — prosta i okrąg (porównaj $d$ z $r$)

Okrąg (x-1)^2+(y+2)^2=9 i prosta y=1 . Środek S=(1,-2) , r=3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Z (y+1)^2 odczyt b=1 . To (y-(-1))^2 , więc b=-1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: doprowadź do (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (w razie potrzeby dopełnij kwadraty), odczytaj S i r z przeciwnym znakiem w nawiasie, a wzajemne położenie z prostą oceń przez d vs r .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość