Kąt środkowy i wpisany — twierdzenia i zastosowania

Klasa 2PodstawaKąty w okręgu

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy. To jeden z tych tematów, gdzie większość zadania polega na zauważeniu, na którym łuku opierają się kąty.

⏱ ~26 min

Kąt środkowy i wpisany — twierdzenia i zastosowania

Po co Ci ten temat?

Kąty w okręgu są częste w zadaniach z rysunkiem. Obrazek wygląda groźnie, ale zwykle chodzi o jedną relację: kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Ten temat uczy patrzeć nie na sam kąt, lecz na łuk, na którym jest oparty — gdy dobrze rozpoznasz łuk, obliczenia są krótkie.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona przechodzą przez dwa punkty okręgu.

Twierdzenie (oba kąty oparte na tym samym łuku):

m(\angle AOB)=2\,m(\angle ACB)\qquad\Longleftrightarrow\qquad m(\angle ACB)=\tfrac{1}{2}\,m(\angle AOB)

Warunek konieczny: oba kąty muszą być oparte na tym samym łuku — inaczej nie wolno dzielić przez $2$ .

Okrąg ze środkiem O, punktami A, B, C, łukiem AB, kątem środkowym AOB i kątem wpisanym ACB opartymi na tym samym łuku — Kąt środkowy ∠AOB i kąt wpisany ∠ACB oparte na TYM SAMYM łuku AB: ∠AOB = 2·∠ACB.

Sytuacja	Wniosek
kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku	$\angle$ wpisany $=\tfrac12\,\angle$ środkowego
dwa kąty wpisane na tym samym łuku	mają równe miary
kąt wpisany oparty na średnicy	ma $90^\circ$

Bardzo ważny skrót: kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Gdy $AB$ jest średnicą, a $C$ leży na okręgu:

\angle ACB=90^\circ

Okrąg ze średnicą AB i punktem C na okręgu, kąt wpisany ACB równy 90 stopni — Gdy AB jest średnicą, kąt wpisany ∠ACB oparty na niej ma 90° (twierdzenie Talesa w okręgu).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Najpierw znajdź łuk — i sprawdź, które kąty są na nim oparte.
Rozpoznaj typ: wierzchołek w środku → środkowy; na okręgu → wpisany.
Oba na tym samym łuku → użyj relacji $\angle$ środkowy $=2\cdot\angle$ wpisany.
Widzisz średnicę i punkt na okręgu → kąt wpisany na niej ma $90^\circ$ .
Promienie $OA=OB$ → trójkąt $AOB$ równoramienny (dwa równe kąty przy podstawie).
Dolicz brakujące kąty z sumy kątów trójkąta; zapisz wynik w stopniach.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (środkowy → wpisany). Kąt środkowy \angle AOB=120^\circ , punkt C na okręgu, \angle ACB wpisany oparty na tym samym łuku AB : \angle ACB=\tfrac{1}{2}\angle AOB=\tfrac{120^\circ}{2}=60^\circ Przykład 2 (kąt na średnicy).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Dzielenie każdego kąta środkowego przez 2. Najpierw sprawdź, czy kąty są oparte na tym samym łuku — relacja działa tylko wtedy.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Zadanie zwykle pokazuje okrąg, kilka punktów i jeden znany kąt — trzeba znaleźć brakujący. Schemat: znajdź łuk → użyj relacji \angle środkowy =2\cdot\angle wpisany → dolicz z sumy kątów trójkąta → wykorzystaj, że promienie są równe (trójkąt równoramienny).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość