Okrąg i koło — wzajemne położenie prostej i okręgu, styczna

Klasa 2PodstawaStyczna i odległość

W zadaniach z okręgiem najczęściej chodzi o odległość od środka, promień i kąt prosty przy stycznej. Jeśli rozpoznasz, czy prosta przecina okrąg, jest styczna czy zewnętrzna, zwykle zostaje tylko Pitagoras albo równanie odległości.

⏱ ~26 min

Okrąg i koło — wzajemne położenie prostej i okręgu, styczna

Po co Ci ten temat?

Okrąg i koło wracają w geometrii bardzo często: przy stycznych, kątach, wielokątach wpisanych, polach i zadaniach z rysunkiem. To nie dział do pamiętania dwudziestu twierdzeń — najważniejsze jest rozpoznanie kilku sytuacji na rysunku. Gdy widzisz środek, promień i prostą, pierwsze pytanie brzmi: jaka jest odległość środka od tej prostej? Od tego zależy wszystko.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Okrąg to zbiór punktów w tej samej odległości od środka. Koło to okrąg razem z wnętrzem.

Pojęcie	Co oznacza
środek $O$	punkt w środku okręgu
promień $r$	odcinek od środka do punktu na okręgu
średnica	odcinek przez środek, $d=2r$
cięciwa	odcinek łączący dwa punkty okręgu
sieczna	prosta mająca z okręgiem dwa punkty wspólne
styczna	prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny

Własność stycznej: promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Jeśli prosta $l$ jest styczna w punkcie $T$ , to $OT\perp l$ .

Okrąg ze środkiem O, punktem styczności T, styczną l i promieniem OT prostopadłym do stycznej (kąt prosty) — Gdy prosta jest styczna w punkcie T, promień OT jest PROSTOPADŁY do stycznej: OT ⟂ l (kąt 90°).

Wzajemne położenie prostej i okręgu zależy od odległości $d(O,l)$ środka od prostej (mierzonej prostopadle) w porównaniu z promieniem $r$ :

\begin{cases} d(O,l)<r & \text{sieczna — dwa punkty wspólne}\\ d(O,l)=r & \text{styczna — jeden punkt wspólny}\\ d(O,l)>r & \text{brak punktów wspólnych} \end{cases}

Trzy okręgi z prostą — d>r brak punktów, d=r styczna jeden punkt, d<r sieczna dwa punkty — Liczba punktów wspólnych zależy od d(O,l): d>r brak, d=r styczna (1 punkt), d<r sieczna (2 punkty).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Zaznacz środek $O$ i promień $r$ .
Sprawdź, czy w zadaniu jest styczna, sieczna albo prosta poza okręgiem.
Jest styczna? Dorysuj promień do punktu styczności i wpisz kąt $90^\circ$ ( $OT\perp l$ ).
Trzeba określić położenie prostej? Porównaj $d(O,l)$ z $r$ .
Pojawił się trójkąt prostokątny → użyj twierdzenia Pitagorasa.
Pola: pole koła $=\pi r$ , obwód okręgu $=2\pi r$ (zawsze promień, nie średnica).
Sprawdź sens: średnica $=2r$ , a styczna nie może przecinać okręgu w dwóch punktach.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (długość stycznej). Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie T .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Brak promienia do punktu styczności. Dorysuj OT do punktu styczności — dopiero wtedy widać kąt prosty ( OT\perp styczna).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Ten temat bywa ukryty w zadaniu z rysunkiem — w treści pojawia się styczna, promień, punkt zewnętrzny albo odległość od środka. Punktowane: zauważenie kąta prostego przy stycznej → zbudowanie trójkąta prostokątnego → Pitagoras lub porównanie d(O,l) z r → o…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość