Równania trygonometryczne — metody rozwiązywania

Funkcje trygonometryczne są okresowe: $\sin$ i $\cos$ mają okres $2\pi$, a $\operatorname{tg}$ okres $\pi$. Dlatego równanie ma zwykle nieskończenie wiele rozwiązań — zapisujemy je z parametrem $k\in\mathbb{Z}$ (jeśli $x$₀ to kąt podstawowy):

$$\sin x=a:\quad x=x$$₀+2k\pi\ \ \text{lub}\ \ x=\pi-x₀+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z} $$\cos x=a:\quad x=x$$₀+2k\pi\ \ \text{lub}\ \ x=-x₀+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z} $$\operatorname{tg}x=a:\quad x=x$$₀+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\quad(\text{dziedzina: } x\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi)

Warunek istnienia: $a\in[-1,1]$ dla $\sin x=a$ i $\cos x=a$ (poza tym brak rozwiązań); $a\in\mathbb{R}$ dla $\operatorname{tg}x=a$. Np. $\cos x=\tfrac32$ nie ma rozwiązań, bo $\tfrac32>1$.

Rozwiązania ogólne vs w przedziale. Zapis z $k\in\mathbb{Z}$ (np. $x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi$) to wszystkie rozwiązania w $\mathbb{R}$. Gdy zadanie ma przedział (np. $[0,2\pi)$), na końcu wybierasz te $k$, dla których $x$ mieści się w zakresie.

Wizualizacja· Gdzie funkcja ma dany znak?

Co zauważyć: Znak prawej strony równania wskazuje ćwiartki, w których szukasz rozwiązań.

Najczęstsze kąty podstawowe: