Tożsamości trygonometryczne i wzory redukcyjne

Klasa 3RozszerzenieTożsamości i wzoryWzory sumy i podwojenia

Tożsamości trygonometryczne to narzędzia do zamiany jednej postaci wyrażenia na inną, a nie ozdobna teoria. Najczęściej używasz sin²x+cos²x=1 oraz znaków funkcji w ćwiartkach, żeby uprościć wyrażenie albo policzyć brakującą wartość.

⏱ ~30 min

Tożsamości trygonometryczne i wzory redukcyjne

Po co Ci ten temat?

W zadaniach trygonometrii rzadko dostajesz od razu gotowy kąt — częściej masz np. $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ i informację, że $\alpha$ jest w II ćwiartce, a trzeba policzyć $\cos\alpha$ albo $\operatorname{tg}\alpha$ . Tu wchodzą tożsamości. Wzory redukcyjne zamieniają funkcję kąta typu $180^\circ-\alpha$ , $180^\circ+\alpha$ , $360^\circ-\alpha$ na funkcję kąta $\alpha$ . (To temat rozszerzenia.)

Zakres: tożsamość podstawowa i wzory redukcyjne to fundament (PP/bridge); wzory sumy, różnicy i kąta podwojonego to PR.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Najważniejsza tożsamość (jedynka trygonometryczna):

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha,\quad \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad(\cos\alpha\neq 0)

Warunek $\cos\alpha\neq0$ oznacza, że tangens nie istnieje dla $\alpha=90^\circ+180^\circ k$ , czyli $\alpha=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

Wzory redukcyjne najlepiej czytać przez ćwiartkę i znak — wartość bierzesz z kąta odniesienia, a znak z ćwiartki:

Kąt	Ćwiartka i znaki
$180^\circ-\alpha$	II: $\sin+$ , $\cos-$ , $\operatorname{tg}-$
$180^\circ+\alpha$	III: $\sin-$ , $\cos-$ , $\operatorname{tg}+$
$360^\circ-\alpha$	IV: $\sin-$ , $\cos+$ , $\operatorname{tg}-$
$90^\circ-\alpha$	funkcje dopełniające: $\sin\leftrightarrow\cos$

Nie ucz się redukcji jako listy — myśl: jaka ćwiartka, jaki znak?

Drzewo decyzji — α+β wzory sumy, α−β wzory różnicy, 2α kąt podwojony, jedna funkcja i ćwiartka jedynka trygonometryczna — Najpierw rozpoznaj typ wyrażenia: α+β → wzory sumy; α−β → różnicy; 2α → kąt podwojony; jedna funkcja + ćwiartka → sin²α+cos²α=1.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Infografika

Tożsamości i redukcje — krok po kroku

Rozpoznaj typ wyrażenia

jedna funkcja+ćwiartka / redukcja / suma-różnica / kąt 2α

Wybierz grupę wzorów

jedynka; wzór redukcyjny; suma/różnica; podwojenie

Sprawdź warunki

dla tangensa cos≠0 oraz mianowniki ≠ 0

Ustal znak z ćwiartki

po pierwiastkowaniu wybierz + albo −

Podstaw wartości i uprość

policz i skróć wynik

Dowód? przekształcaj jedną stronę

do postaci drugiej strony

ExamTip. Najpierw rozpoznaj strukturę wyrażenia, dopiero potem wybierz wzór. Redukcja, suma/różnica i kąt podwojony to trzy różne narzędzia — dobór jest ważniejszy niż pamięciowe podstawianie.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (jedynka + ćwiartka). Dane \cos\alpha=-\tfrac{12}{13} , \alpha w II ćwiartce.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Rozszerzenie PR — TRY.09: suma, różnica i kąt podwojony

Wzory sumy i różnicy (uwaga na znaki — łatwo pomylić): \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorn…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Dodatni wynik po pierwiastkowaniu. Znak zależy od ćwiartki: \sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha} .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na PP/PR typowe: „dany \sin lub \cos + ćwiartka — oblicz pozostałe funkcje" (punkt za tożsamość, znak i rachunek). Na rozszerzeniu dochodzą wzory sumy/różnicy ( \sin 75^\circ , \cos 15^\circ ), kąta podwojonego i dowody tożsamości .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość