Równania i nierówności kwadratowe — wszystkie metody

Klasa maturalnaMatura PPParabola i znaki

W równaniach kwadratowych najpierw zdecyduj, czy szybciej działa rozkład na czynniki, wzory skróconego mnożenia czy delta. W nierównościach samo znalezienie pierwiastków nie wystarcza — trzeba jeszcze wybrać odpowiednie przedziały znaku.

⏱ ~25 min

Równania i nierówności kwadratowe — wszystkie metody

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W równaniach i nierównościach kwadratowych ważniejsze od liczenia delty jest rozpoznanie najkrótszej metody.

Typ wyrażenia	Najszybsza metoda
$x$	rozkład na czynniki
$x$	wzór skróconego mnożenia
$2x^2-7x+3=0$	$\Delta$ (lub rozkład, jeśli widać czynniki)
$x$	kwadrat sumy $(x+2)^2=0$
$x$	miejsca zerowe + znak paraboli

Poziom: matura podstawowa + most do PR (parametry, większe tabele znaków).

Delta i pierwiastki

\Delta=b

\Delta>0 \Rightarrow 2\text{ rozwiązania},\qquad \Delta=0 \Rightarrow 1\text{ podwójne},\qquad \Delta<0 \Rightarrow \text{brak rzeczywistych}

Słownictwo

Schemat — równanie vs nierówność

Równanie: doprowadź do $=0$ → spróbuj rozkładu → jeśli nie, licz $\Delta$ → podaj pierwiastki.

Nierówność: doprowadź do jednej strony → znajdź miejsca zerowe → narysuj oś/parabolę → wybierz przedział po znaku:

Znak $a$	Gdzie $f>0$	Gdzie $f<0$
$a>0$ (ramiona w górę)	poza pierwiastkami	między pierwiastkami
$a<0$ (ramiona w dół)	między pierwiastkami	poza pierwiastkami

Pierwiastki to dopiero punkty graniczne. W nierówności odpowiedzią jest przedział albo suma przedziałów — nie same pierwiastki.

Gdy $\Delta<0$ (brak pierwiastków rzeczywistych) parabola nie przecina osi $OX$ — znak funkcji jest stały: dla $a>0$ jest $f(x)>0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$ , a dla $a<0$ — $f(x)<0$ dla każdego $x$ . W nierówności nie kończ na „brak pierwiastków" — podaj $\mathbb{R}$ albo $\varnothing$ zależnie od znaku.

Dwie parabole — dla a>0 (ramiona w górę) f>0 poza pierwiastkami i f<0 między (znak +/−/+), dla a<0 odwrotnie (znak −/+/−) — W nierówności wybierasz przedział po znaku funkcji. Dla a>0 funkcja jest dodatnia poza pierwiastkami, ujemna między; dla a<0 — na odwrót. Pierwiastki to tylko granice.

Przykład

Przykłady maturalne

Przykład 1 (podstawowy, a 0 ). x^2-5x+6\le0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Pierwiastki jako odpowiedź nierówności. To tylko granice — wybierz przedział po znaku.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: równanie kończy się pierwiastkami, nierówność — przedziałem po analizie znaku paraboli. Pamiętaj o przypadku \Delta=0 i o tym, że znak a decyduje, gdzie funkcja jest dodatnia.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość