Równanie okręgu — środek, promień i wzajemne położenie z prostą

Klasa 3Geometria analitycznaPP: okrąg i prostaPR: oś potęgowa

Okrąg w układzie współrzędnych rozpoznajesz po wzorze (x−a)²+(y−b)²=r². Najważniejsze jest odczytać środek, promień i umieć sprawdzić, czy prosta przecina okrąg, jest styczna czy nie ma punktów wspólnych.

⏱ ~35 min

Równanie okręgu — środek, promień i wzajemne położenie z prostą

Po co Ci ten temat?

Okrąg łączy geometrię z algebrą: w jednym zadaniu możesz mieć równanie okręgu, prostą, punkt styczności, cięciwę albo sprawdzenie, czy punkt leży na okręgu. Jeśli umiesz odczytać środek i promień, połowa pracy jest zrobiona.

Poziom: część wspólna PP/PR; na rozszerzeniu dochodzą zadania z parametrem, stycznymi i układami dwóch okręgów (sekcja PR na końcu).

Najważniejsza idea w prostych słowach

Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ ma równanie:

(x-a)^2+(y-b)^2=r

Przykład: $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ → $S=(3,-2)$ , $r=5$ .

Uwaga na znaki i $r$ : znak w nawiasie jest przeciwny ( $(y+2)$ → $b=-2$ ), a po prawej stronie stoi $r$ , więc promień to pierwiastek: $r$ .

Słownictwo

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Najszybciej porównać odległość środka od prostej $d(S,l)$ z promieniem $r$ :

d(S,l)=\frac{\lvert Aa+Bb+C\rvert}{\sqrt{A

Warunek	Położenie	Punkty wspólne
$d>r$	rozłączna	$0$
$d=r$	styczna	$1$
$d<r$	sieczna	$2$

Porównujesz $d$ z $r$ — nie z $r$ . Zarówno $d$ , jak i $r$ są długościami, więc porównanie ma sens bezpośrednio; kwadrat $r$ to tylko prawa strona równania okręgu, nie promień.

Algorytm — okrąg i prosta

1. Doprowadź równanie okręgu do (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 i odczytaj S=(a,b) , r .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Styczność przez odległość. Czy prosta y=1 jest styczna do okręgu (x-2)^2+(y-4)^2=9 ?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Słownictwo

Rozszerzenie PR — GEO.12: dwa okręgi i oś potęgowa

Dla dwóch okręgów nie rozwiązujesz od razu dwóch równań kwadratowych. Najpierw odejmij równania — wyrazy x^2 i y^2 się skracają i zostaje prosta (tzw.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Środek bez zmiany znaku. (x-3)^2+(y+2)^2 \Rightarrow S=(3,-2) — znak w nawiasie jest przeciwny.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Typowe zadania: odczytaj środek i promień, wyznacz równanie okręgu o danym S i r , sprawdź czy punkt leży na okręgu, sprawdź styczność, znajdź punkty przecięcia prostej z okręgiem; na PR — punkty wspólne dwóch okręgów (oś potęgowa). Najlepsza strategia: za…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość