Klasyczna definicja prawdopodobieństwa — zdarzenia i obliczenia

Prawdopodobieństwo pojawia się na maturze często, a zadania wyglądają prosto tylko do momentu, gdy trzeba poprawnie policzyć przypadki. Najczęstszy błąd: uczeń zna wzór, ale nie umie ustalić, co dokładnie jest zbiorem wszystkich wyników $\Omega$.

Poziom: podstawowy/maturalny. Na PR dochodzą złożone zliczania, prawdopodobieństwo warunkowe i łączenie z kombinatoryką.

Klasyczna definicja działa tylko, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne:

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad \Omega\neq\varnothing,\ A\subseteq\Omega,\ |\Omega|<\infty$$

• $\Omega$ — zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych,
• $A$ — zdarzenie, które nas interesuje,
• $|\Omega|$ — liczba wszystkich zdarzeń elementarnych,
• $|A|$ — liczba zdarzeń sprzyjających $A$.

Wizualizacja· Licznik i mianownik w modelu klasycznym

Co zauważyć: P(A)=|A|/|Ω|. Licznik = sprzyjające, mianownik = wszystkie. Tylko przy równych szansach; zawsze 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Przykład prosty: kostka, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A$ = liczba parzysta $=\{2,4,6\}$, więc $P(A)=\tfrac36=\tfrac12$.

Sprawdź dwa warunki: (1) wyników jest skończenie wiele, (2) są jednakowo prawdopodobne. Nie każde losowanie spełnia drugi warunek — wzór nie jest automatyczny.

Podstawowe własności prawdopodobieństwa: $P(\varnothing)=0$, $P(\Omega)=1$, zawsze $0\le P(A)\le 1$ oraz $P(A')=1-P(A)$. Dla zdarzeń rozłącznych ($A\cap B=\varnothing$): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$; ogólnie (gdy się nakładają): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — odejmujesz część wspólną policzoną dwa razy.