Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A\mid B)$ („$A$ pod warunkiem, że zaszło $B$"):

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

$B$ staje się nową całością. Jeśli pytanie brzmi „spośród uczniów z kółka…", mianownikiem nie jest już cała klasa, tylko liczba uczniów z kółka.

Wizualizacja· Warunek zmienia przestrzeń

Co zauważyć: P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Mianownik = B (nie Ω). Warunek zawęża przestrzeń do wnętrza B.

Zdarzenia niezależne — wiedza o $B$ nie zmienia szansy $A$:

$$A,B \text{ niezależne} \iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \iff P(A\mid B)=P(A)$$

(Zapis $P(A\mid B)$ ma sens tylko przy $P(B)>0$.) Test niezależności to rachunek, nie intuicja z treści: policz $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ i porównaj z $P(A)\cdot P(B)$ — równe oznacza niezależne, różne oznacza zależne.

Niezależne $\neq$ rozłączne. Rozłączne ($A\cap B=\varnothing$) znaczy „nie mogą zajść razem"; niezależne — „zajście jednego nie zmienia szansy drugiego". To różne pojęcia. Co więcej: dwa zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach, jeśli są rozłączne, są zależne — bo $P(A\cap B)=0$, a $P(A)\cdot P(B)>0$.