Schemat Bernoulliego i zadania z urnami

Klasa maturalnaMatura PRStałe p, niezależne próbyBez zwracania? Uważaj

Schemat Bernoulliego działa wtedy, gdy masz powtarzane, niezależne próby z dwoma wynikami: sukces albo porażka. W zadaniach z urnami najpierw rozpoznaj, czy losowanie jest ze zwracaniem — bez tego możesz użyć złego modelu.

⏱ ~36 min

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE lubi zadania, w których trzeba rozpoznać model losowania: urna/worek (kule, kartki, żetony) i powtarzane próby (rzuty, strzały, losowania).

Schemat Bernoulliego stosujesz, gdy:

każda próba ma dwa wyniki: sukces / porażka,
prawdopodobieństwo sukcesu $p$ jest stałe w każdej próbie,
próby są niezależne,
pytasz o prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach.

P(X=k)=\binom{n}{k}p

Skąd ten wzór? $\binom{n}{k}$ = na których miejscach wypadają sukcesy; $p$ = same sukcesy; $(1-p)^{n-k}$ = porażki.

Sytuacja	Bernoulli?
moneta rzucona $10$ razy	tak
kule losowane ze zwracaniem	tak
kule losowane bez zwracania	zwykle nie
$5$ strzałów, stałe $p$ trafienia	tak
$3$ osoby z klasy bez odkładania	nie

Poziom: głównie PR; most z PP przez regułę mnożenia i kombinatorykę.

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Kiedy i jak użyć Bernoulliego

Ustal sukces

co liczysz jako sukces (trafienie • szóstka)

Sprawdź warunki

dwa wyniki • stałe p • niezależność • ustalone n

Ze zwracaniem czy bez?

ze zwracaniem → p stałe; bez → zwykle nie Bernoulli

Ustal n, k, p

k: dokładnie • co najmniej czy co najwyżej?

Wybierz wzór lub dopełnienie

co najmniej jeden → 1 − P(X=0)

Checklista czterech warunków schematu Bernoulliego — stała liczba prób n, dwa wyniki próby (sukces/porażka), próby niezależne, stałe prawdopodobieństwo p; z uwagą, że jeśli choć jeden warunek odpada, wzór nie jest automatyczny — Wzoru Bernoulliego użyj dopiero, gdy spełnione są wszystkie cztery warunki: stała liczba prób n, dwa wyniki (sukces/porażka), próby niezależne, stałe p. Losowanie bez zwracania łamie warunek stałego p.

Przykład

Przykład 1 — kostka (dokładnie 2 sukcesy)

$4$ rzuty kostką, sukces = szóstka. $n=4$ , $k=2$ , $p=\tfrac16$ , $1-p=\tfrac56$ :

P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^2=6\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{25}{36}=\frac{150}{1296}=\frac{25}{216}

Przykład

Przykład 2 — urna ZE zwracaniem

3 czerwone, 7 białych. Losujemy 5 razy ze zwracaniem , p=\tfrac{3}{10} stałe.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Kontrprzykład — BEZ zwracania (Bernoulli nie działa)

⚠️ Bez zwracania to zwykle NIE Bernoulli. Te same kule, ale 5 losowań bez zwracania → po każdym losowaniu skład urny się zmienia, więc p nie jest stałe .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Słownictwo

Dopełnienie i typy pytań

P(X\ge1)=1-P(X=0) Pytanie Jak liczysz --- --- dokładnie k P(X=k) co najmniej 1 1-P(X=0) co najmniej 2 1-P(X=0)-P(X=1) co najwyżej 1 P(X=0)+P(X=1)

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład — „co najmniej 2" (dopełnienie)

n=5 , p=\tfrac13 . P(X\ge2) liczymy przez dopełnienie (odejmujemy 0 i 1 sukces): P(X\ge2)=1-\binom{5}{0}\left(\tfrac13\right)^0\left(\tfrac23\right)^5-\binom{5}{1}\left(\tfrac13\right)^1\left(\tfrac23\right)^4 Kluczowy jest wybór metody — dopełnienie jest …

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Bernoulli przy losowaniu bez zwracania. Bernoulli wymaga stałego p — bez zwracania skład się zmienia.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: sprawdź warunki Bernoulliego (dwa wyniki, stałe p , niezależność, ustalone n ), użyj wzoru \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} , a „co najmniej jeden" policz przez dopełnienie. Bez zwracania → drzewko, nie Bernoulli.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość