Wartość bezwzględna i nierówności — techniki rozwiązywania

Klasa maturalnaMatura PPModuł na osi

Wartość bezwzględna to odległość od zera albo od konkretnego punktu na osi. Najszybszy schemat: najpierw pomyśl geometrycznie, a dopiero potem zapisuj przedziały i pilnuj, czy nierówność jest typu „bliżej niż” czy „dalej niż”.

⏱ ~26 min

Wartość bezwzględna i nierówności — techniki rozwiązywania

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Wartość bezwzględna pojawia się w krótkich zadaniach, które wyglądają niewinnie, ale łatwo pomylić kierunek nierówności. Najważniejsza intuicja: $\lvert x-a\rvert$ to odległość liczby $x$ od punktu $a$ na osi.

Zapis	Znaczenie
$\lvert x\rvert$	odległość $x$ od zera
$\lvert x-a\rvert$	odległość $x$ od punktu $a$
$\lvert x-a\rvert\le r$	liczby w odległości co najwyżej $r$ od $a$
$\lvert x-a\rvert\ge r$	liczby w odległości co najmniej $r$ od $a$

Definicja algebraiczna:

\lvert x\rvert=\begin{cases} x, & x\ge0 \\ -x, & x<0 \end{cases}

Poziom: matura podstawowa + rozszerzenie (przypadki, parametry, łączenie z funkcjami).

Zapamiętaj

Cztery schematy (zapamiętaj)

Typ	Odpowiedź	Sens
$\lvert x-a\rvert<r$	$a-r<x<a+r$	blisko środka (jeden przedział)
$\lvert x-a\rvert\le r$	$a-r\le x\le a+r$	blisko (końce należą)
$\lvert x-a\rvert>r$	$x<a-r\ \text{lub}\ x>a+r$	daleko od środka (dwa przedziały)
$\lvert x-a\rvert\ge r$	$x\le a-r\ \text{lub}\ x\ge a+r$	daleko (końce należą)

Sprawdź znak prawej strony — wynik zależy i od $r$ , i od kierunku nierówności (bo $\lvert x-a\rvert\ge0$ zawsze):

Prawa strona	$\lvert x-a\rvert<r$ / $\le r$	$\lvert x-a\rvert>r$ / $\ge r$
$r>0$	jeden przedział wokół $a$	dwa zewnętrzne przedziały
$r=0$	$\le0$ : tylko $x=a$ ; $<0$ : $\varnothing$	$\ge0$ : całe $\mathbb{R}$ ; $>0$ : $x\neq a$
$r<0$	$\varnothing$ (odległość nie bywa ujemna)	$\mathbb{R}$ (zawsze spełnione)

To ważne: ujemna prawa strona nie zawsze oznacza brak rozwiązań — dla $>$ lub $\ge$ daje całe $\mathbb{R}$ .

Oś modułu ze środkiem a i granicami a-r, a+r; |x-a|≤r daje jeden przedział blisko środka, |x-a|≥r daje dwa zewnętrzne przedziały — |x-a| to odległość od punktu a. Kierunek nierówności wybiera wynik: < oraz ≤ → jeden przedział blisko środka, > oraz ≥ → dwa zewnętrzne przedziały. Najpierw znajdź środek a i promień r.

Schemat rozwiązania zadania

Sprawdź, czy to $\lvert x-a\rvert$ → przetłumacz na odległość od $a$ .
Znak $<$ albo $\le$ → liczby blisko $a$ → jeden przedział.
Znak $>$ albo $\ge$ → liczby daleko → suma dwóch przedziałów.
Moduł z wyrażeniem typu $2x-3$ → nierówność podwójna albo dwa przypadki.
Zapisz przedziałem, sprawdź nawiasy, podstaw liczbę testową.

Przykład

Przykłady maturalne

Przykład 1 ( < → jeden przedział). \lvert 2x-3\rvert\le5 : nierówność podwójna -5\le2x-3\le5 , +3 do wszystkich części: -2\le2x\le8 , :2 : -1\le x\le4 , czyli x\in[-1,4] .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Moduł → automatycznie jeden przedział. Działa dla <,\le ; dla ,\ge to dwa zewnętrzne przedziały.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Typowo: rozwiąż \lvert x-a\rvert\lessgtr r , zapisz przedziałem, wybierz rysunek osi. Najszybciej myśleć „odległość od środka" : < → blisko (jeden przedział), → daleko (dwa).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość