Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową

Klasa maturalnaMatura PPMaksimum z paraboli

Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową prawie zawsze sprowadzają się do zbudowania wzoru i znalezienia wierzchołka paraboli. Najtrudniejszy moment to nie liczenie, tylko poprawne wybranie zmiennej i dziedziny z treści zadania.

⏱ ~25 min

Co CKE najczęściej sprawdza?

W zadaniach optymalizacyjnych CKE sprawdza, czy umiesz zamienić tekst na funkcję. Potem zwykle wystarczy wierzchołek paraboli. Punkty traci się nie na rachunku, tylko na modelu: złym warunku, braku dziedziny albo myleniu argumentu z wartością.

Typowe pytania: dla jakiego $x$ pole jest największe, kiedy koszt najmniejszy, jakie wymiary dają największe pole, jaka cena daje największy zysk, dla jakiego parametru funkcja osiąga ekstremum.

Poziom: matura podstawowa + most do PR. Na PP wystarczy optymalizacja przez wierzchołek; na PR dochodzą zadania na przedziale domkniętym (ekstremum może wypaść na końcu).

Schemat rozwiązania (od modelu do odpowiedzi)

Wybierz zmienną, np. $x$ .
Zapisz warunek z treści (obwód, suma, cena × ilość).
Wyznacz dziedzinę z treści (długości dodatnie, ilości całkowite…).
Zbuduj funkcję celu: $P(x)$ , $K(x)$ , $Z(x)$ , $R(x)$ .
Sprawdź znak $a$ : $a<0$ → maksimum, $a>0$ → minimum.
Znajdź wierzchołek: $p=\frac{-b}{2a}$
Sprawdź, czy $p$ należy do dziedziny (jeśli nie — sprawdź końce przedziału).
Odpowiedz zdaniem z jednostką, nie samą liczbą.

Najważniejsza zasada: wierzchołek daje maksimum/minimum tylko wtedy, gdy należy do dziedziny zadania.

Schemat procesu — treść, zmienna z dziedziną, funkcja celu P(x), wierzchołek p=-b/2a; parabola a<0 z maksimum; kontrola p∈D i odpowiedź z jednostką — Optymalizacja to cały proces: treść → zmienna i dziedzina → funkcja celu → wierzchołek p=-b/2a. Dla a<0 wierzchołek to maksimum, ale tylko gdy p∈D — inaczej sprawdź końce. Odpowiedz zdaniem z jednostką.

Przykład

Przykład 1 (geometria) — krok po kroku

Prostokąt ma obwód $40$ cm. Jakie wymiary dają największe pole?

Zmienna i warunek. Boki $x$ i $y$ . Obwód: $2x+2y=40$ , więc $x+y=20$ , czyli $y=20-x$ .

Dziedzina (z treści): boki muszą być dodatnie:

0<x<20

Funkcja celu (pole):

P(x)=x\cdot y=x(20-x)=20x-x

Znak $a$ : $a=-1<0$ → ramiona w dół → wierzchołek daje maksimum.

p=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{2\cdot(-1)}=10

$p=10\in(0,20)$ ✓ należy do dziedziny. Drugi bok: $y=20-10=10$ .

Odpowiedź: największe pole ma prostokąt $10\text{ cm}\times10\text{ cm}$ (kwadrat), pole $100\text{ cm}^2$ .

Przykład

Przykład 2 (zysk/cena) — optymalizacja to nie tylko geometria

Cena biletu to x zł, liczba sprzedanych biletów to 120-2x . Dla jakiej ceny przychód jest największy?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Liczy wierzchołek bez dziedziny. Najpierw dziedzina z treści, potem wierzchołek — wynik musi mieć sens.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz to model: zmienna → warunek → dziedzina → funkcja → wierzchołek → kontrola dziedziny → odpowiedź z jednostką. Sam rachunek wierzchołka jest łatwy; punkty giną na braku dziedziny i odpowiedzi nie na temat.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość