Wielomiany — pierwiastki, rozkład, twierdzenie Bézout

Klasa maturalnaMatura PRBézout i pierwiastki

W zadaniach maturalnych z wielomianów najczęściej chodzi o znalezienie pierwiastka, rozłożenie wielomianu na czynniki i dopiero wtedy rozwiązanie równania. Twierdzenie Bézouta traktuj jak szybki test: jeśli W(a)=0, to x−a jest czynnikiem wielomianu.

⏱ ~29 min

Wielomiany — pierwiastki, rozkład, twierdzenie Bézout

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Wielomiany rzadko są czystą teorią. Zwykle dostajesz wielomian, warunek typu „liczba $2$ jest pierwiastkiem" albo równanie $W(x)=0$ i masz doprowadzić wszystko do postaci iloczynowej, z której odczytasz rozwiązania.

Sytuacja w zadaniu	Co robisz?
policzyć $W(a)$	podstaw $a$ za $x$ , uważaj na znaki
sprawdzić, czy $a$ jest pierwiastkiem	policz $W(a)$ ; jeśli $W(a)=0$ → $a$ jest pierwiastkiem
rozwiązać $W(x)=0$	rozłóż na czynniki
masz czynnik $x-a$	$a$ jest pierwiastkiem
masz pierwiastek $a$	$x-a$ dzieli wielomian

Poziom: wejście PP (proste rozkłady, wzory skróconego mnożenia, grupowanie); główny PR — sprawne użycie twierdzenia Bézouta, schematu Hornera i pierwiastków wymiernych.

Zapamiętaj

Twierdzenie Bézouta (zapamiętaj w pełnej wersji)

W(x)=(x-a)\,Q(x)+r,\qquad r=W(a)

Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $x-a$ jest równa $W(a)$ . Stąd kluczowy wniosek:

W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)

Sprawdzenie jednej liczby $W(a)$ mówi, czy $x-a$ jest czynnikiem — to podstawa całego rozkładu.

Łańcuch rozumowania: $\;W(a)=0\;\Rightarrow\;(x-a)\mid W(x)\;\Rightarrow\;W(x)=(x-a)Q(x)\;\Rightarrow\;$ rozkładasz $Q(x)$ dalej.

Schemat — sprawdź pierwiastek W(1)=0, czynnik (x-1), dzielenie Hornera → Q(x)=x²-5x+6, rozkład (x-2)(x-3), postać iloczynowa (x-1)(x-2)(x-3) i zbiór {1,2,3} — Sprawdzenie jednej liczby to dopiero początek: W(a)=0 → czynnik (x−a) → dzielenie Hornera → iloraz Q(x) → dalszy rozkład → zbiór rozwiązań. Po jednym pierwiastku dziel i szukaj dalej.

Schemat rozwiązania zadania

Ustal cel: wartość $W(a)$ , pierwiastek, rozkład czy równanie $W(x)=0$ .
Gdy „ $a$ jest pierwiastkiem" → od razu zapisz $(x-a)\mid W(x)$ .
Gdy szukasz pierwiastków: sprawdź dzielniki wyrazu wolnego ( $\pm1,\pm2,\dots$ ).
Po znalezieniu $a$ podziel przez $x-a$ (najlepiej schematem Hornera).
Rozłóż iloraz $Q(x)$ : wzory, grupowanie, $\Delta$ , kolejny Bézout/Horner.
Wypisz wszystkie pierwiastki i sprawdź krotności.

Horner dzieli przez $x-a$ . Jeśli czynnik liniowy to np. $2x-4$ , najpierw wyłącz współczynnik: $2x-4=2(x-2)$ — kandydatem jest $a=2$ , więc dzielisz przez $x-2$ (nie wpisuj do Hornera „ $2x-4$ " wprost).

Przykład

Przykład maturalny — krok po kroku

Rozwiąż W(x)=x^3-6x^2+11x-6=0 . Krok 1.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie (PR) — pierwiastki wymierne i reszta

Pierwiastki wymierne. Dla W(x)=2x^3-3x^2-8x+12 kandydatami \tfrac{p}{q} są: p\mid wyraz wolny 12 , q\mid współczynnik wiodący 2 : \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\ \pm\tfrac12,\ \pm\tfrac32 Sprawdzasz kandydatów, po trafieniu dzielisz Hornerem i rozkładasz …

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Mylenie pierwiastka z czynnikiem. Pierwiastek a → czynnik (x-a) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Schemat: znajdź pierwiastek → Bézout → podziel (Horner) → rozłóż iloraz → wypisz wszystkie rozwiązania. Najwięcej punktów ginie na braku wniosku Bézouta i kończeniu zadania po pierwszym pierwiastku.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość