NexTutor
Dział MAT.M.8›Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Klasa maturalnaMatura PPOdwróć znak?

W nierównościach wykładniczych i logarytmicznych nie wystarczy „zdjąć” potęgę albo logarytm. Musisz pilnować, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca, bo wtedy znak nierówności może się odwrócić.

⏱ ~36 min
Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Nierówności z potęgami i logarytmami są trudniejsze od równań — dochodzi znak nierówności. Kluczowe pytanie: czy funkcja jest rosnąca czy malejąca?

FunkcjaPodstawaCo ze znakiem?
axaxa>1a>1rośnie → znak zostaje
axax0<a<10<a<1maleje → znak się odwraca
log⁡ax\log_a xa>1a>1rośnie → znak zostaje
log⁡ax\log_a x0<a<10<a<1maleje → znak się odwraca

Poziom: matura podstawowa + PR. Nierówności z podstawą 0<a<10<a<1 są szczególnie zdradliwe — łatwo stracić punkt przez nieodwrócenie znaku.

Reguły porównywania

au □ av:a>1⇒znak zostaje,0<a<1⇒znak się odwracaau\ \square\ av:\quad a>1 \Rightarrow \text{znak zostaje},\qquad 0<a<1 \Rightarrow \text{znak się odwraca} log⁡au □ log⁡av(a>0, a≠1, u>0, v>0):a>1⇒zostaje,0<a<1⇒odwraca\log_a u\ \square\ \log_a v \quad(a>0,\ a\neq1,\ u>0,\ v>0):\quad a>1 \Rightarrow \text{zostaje},\qquad 0<a<1 \Rightarrow \text{odwraca}

Przy logarytmach zawsze zapisz dziedzinę (argumenty >0>0) i na końcu przetnij z nią wynik.

Wizualizacja· Kiedy odwracasz znak?
Porównanie — dla a>1 funkcja rosnąca, znak nierówności zostaje (2ˣ<2³ ⇒ x<3); dla 0<a<1 funkcja malejąca, znak się odwraca ((½)ˣ<(½)³ ⇒ x>3)
Sprawdź podstawę przed rozwiązaniem. a>1 → funkcja rosnąca → znak zostaje; 0<a<1 → funkcja malejąca → znak się odwraca. To wynika z monotoniczności, nie jest sztuczną regułą.

Schemat rozwiązania zadania

  1. Rozpoznaj: wykładnicza czy logarytmiczna.
  2. Przy logarytmach zapisz dziedzinę.
  3. Sprowadź do tej samej podstawy / jednego logarytmu.
  4. Sprawdź monotoniczność: a>1a>1 znak zostaje, 0<a<10<a<1 znak odwracasz.
  5. Rozwiąż zwykłą nierówność.
  6. Przetnij wynik z dziedziną.

Przykład

Przykład 1 — wykładnicza malejąca ($0<a<1$)

\left(\dfrac12\right)^x<\dfrac18 . Prawa strona: \dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — logarytmiczna rosnąca ($a>1$)

\log 2(x-1)\ge3 . Dziedzina: x-1 0 , czyli x 1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — logarytmiczna malejąca ($0<a<1$)

\log {1/2}(x-1) 2 . Dziedzina: x 1 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — porównanie dwóch logarytmów ($0<a<1$)

\log {1/2}(x-2)\ge\log {1/2}(5-x) . Dziedzina: x-2 0 i 5-x 0 , czyli x\in(2,5) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Brak odwrócenia znaku przy 0<a<1 . Funkcja maleje → znak się odwraca.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rozpoznaj podstawę. a 1 — znak zostaje, 0<a<1 — znak się odwraca.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Nierówność wykładnicza

Nierówność, w której niewiadoma występuje w wykładniku potęgi

Nierówność logarytmiczna

Nierówność z logarytmem, zwykle wymagająca dziedziny i sprawdzenia podstawy

Funkcja rosnąca

Gdy większy argument daje większą wartość funkcji, więc znak nierówności zostaje

Funkcja malejąca

Gdy większy argument daje mniejszą wartość funkcji, więc przy porównaniu trzeba odwrócić znak

Podstawa między 0 a 1

Sytuacja, w której funkcja wykładnicza i logarytmiczna są malejące

Materiały ZPE

3 materiały

Materiał z klas 1–4

Lekcje klasowe z tym materiałem

Równania i nierówności wykładnicze — metody rozwiązywaniaRównania i nierówności logarytmiczne — zastosowania
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:9%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →