Pierwsza prędkość kosmiczna

v_I=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}

Jednostka wyniku: m/s (często podawana w km/s)

Co opisuje

Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza prędkość, jaką trzeba nadać ciału tuż przy powierzchni planety (lub innego ciała niebieskiego), aby weszło na kołową orbitę wokół niej — stało się satelitą — zamiast spaść z powrotem na powierzchnię.

Oznaczenia

v_I

pierwsza prędkość kosmiczna

[m/s]

G

stała grawitacji (

\approx 6{,}67\cdot10^{-11}

)

[N·m²/kg²]

M

masa ciała centralnego (np. planety)

[kg]

R

promień orbity (przy powierzchni ≈ promień planety)

[m]

Wyjaśnienie

Na orbicie kołowej siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej. Przyrównujemy je:

\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{mv^2}{R}

. Masa satelity

m

się skraca, zostaje

v^2 = \dfrac{GM}{R}

, czyli

v_I = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}

. Wniosek: pierwsza prędkość kosmiczna NIE zależy od masy satelity.

Kiedy stosować

Dla ruchu po orbicie kołowej tuż nad powierzchnią (

R \approx

promień planety). Dla Ziemi

v_I \approx 7{,}9

km/s (≈ 7900 m/s). Równoważnie można liczyć

v_I = \sqrt{gR}

, bo

g = \dfrac{GM}{R^2}

Przykład

Oblicz pierwszą prędkość kosmiczną dla Ziemi.

Podstawienie

M = 5{,}97\cdot10^{24}

kg,

R = 6{,}37\cdot10^{6}

G = 6{,}67\cdot10^{-11}

Wynik

v_I = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}} \approx 7{,}9\cdot10^{3}

m/s ≈ 7,9 km/s.

Powiązane wzory

Druga prędkość kosmiczna Prawo powszechnego ciążenia Przyspieszenie grawitacyjne

Teoria: FIZ.2.2.3 → Lekcja maturalna: FIZ.M.3.1 → Sprawdź w laboratorium →