Grawitacja i astronomia — zadania maturalne
Prawo Newtona, prawa Keplera, satelity i prędkości kosmiczne
Po tej lekcji będziesz umieć
Stosować prawo powszechnego ciążenia i superpozycję pól
F = GMm/r2, sumowanie wektorowe
Obliczać natężenie pola i przyspieszenie na wysokości
g = GM/r2, g(h) = g0(R/(R+h))2
Wyznaczać prędkość orbitalną, okres i promień orbity
v = √(GM/r), T = 2π√(r3/GM)
Stosować prawa Keplera do porównywania orbit
T2/a3 = const (to samo centrum)
Obliczać energię potencjalną i całkowitą na orbicie
= −GMm/r, E = −GMm/(2r)
Rozróżniać prędkość orbitalną i ucieczki
= √2· (ten sam r)
Interpretować nieważkość, orbitę geostacjonarną i prawo Hubble'a
N = 0 mimo grawitacji
Po co Ci to na maturze?
W zadaniach CKE łączysz prawo grawitacji z ruchem po okręgu, energią albo III prawem Keplera. Najczęstsze pułapki: użycie wysokości zamiast odległości od środka, pominięcie kwadratu odległości, zastosowanie wzoru dla orbity kołowej do dowolnej orbity. Sprawdzana jest też interpretacja wykresów g(r), energii i parametrów satelitów.
Najważniejsza idea
Najważniejsza idea: Satelita na orbicie NIE jest poza zasięgiem grawitacji — stale spada ku planecie, ale ma tak dużą prędkość styczną, że powierzchnia „ucieka" spod niego. Odległość r zawsze mierzymy od ŚRODKA ciała centralnego, nie od jego powierzchni.
Intuicja zjawiska
Pole grawitacyjne słabnie z odległością (jak 1/r2), ale nigdy nie kończy się nagle. Im niższa orbita kołowa, tym większa prędkość satelity i krótszy okres — a jego energia całkowita jest bardziej ujemna, czyli jest silniej związany z planetą.
Prawo 1/r2
F = GMm/r2 dla mas punktowych i na zewnątrz ciał o symetrii kulistej; r między środkami mas. Podwojenie r → 4× słabsza siła.
Orbita = spadanie
dla orbity kołowej siła grawitacji pełni rolę dośrodkowej: GMm/r2 = mv2/r → v = √(GM/r).
Energia ujemna
= −GMm/r (0 w nieskończoności); orbita kołowa E = −GMm/(2r) < 0 → ciało związane. Elipsa: E = −GMm/(2a).
Prędkości kosmiczne
= √(GM/R) (orbita tuż nad powierzchnią), = √(2GM/R) = √2· (ucieczka, E = 0).
Wielkości i jednostki
Siła grawitacji F g :: [N] :: wzajemne przyciąganie mas Stała grawitacji G :: [N·m²/kg²] :: 6,67·10⁻¹¹ (= m³/(kg·s²)) Masa centralna M :: [kg] :: planeta, gwiazda, centrum Odległość od środka r :: [m] :: od środka masy ciała centralnego Natężenie pola g :: …
Modele i zasady
:rule Masy punktowe / symetria kulista F = GMm/r² stosujemy do mas punktowych lub na zewnątrz ciał o symetrii kulistej; r mierzymy między środkami mas. Wewnątrz planety zależność g(r) jest inna.
Grawitacja i astronomia — mapa zjawiska
Teoria: wzory i interpretacje
Prawo ciążenia i pole: F g = G\frac{Mm}{r^2}, \qquad g = \frac{GM}{r^2}, \qquad g(h) = g 0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2\ (r = R+h) Orbita kołowa: v {\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} III prawo Keplera i energia: \frac{T^…
Solver — satelity i orbity
1. Ustal ciało centralne i jego masę M.
Słownictwo
Obserwacja: weryfikacja III prawa Keplera
Problem: czy dla planet Układu Słonecznego iloraz T²/a³ jest stały? Planeta a [AU] T [lata] T²/a³ --------- -------- ---------- ------- Ziemia 1,000 1,000 1,000 Mars 1,524 1,881 ≈ 1,000 Jowisz 5,203 11,862 ≈ 0,999 Wniosek: iloraz jest w granicach dokładnoś…
Przykład
Przykład rozwiązany
Satelita na wysokości h = 400 km. R Z = 6400 km, M Z = 6·10²⁴ kg, G = 6,67·10⁻¹¹.
Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam
-praktyka Jak zmieni się siła grawitacji, gdy odległość między ciałami wzrośnie 3-krotnie? F ∝ 1/r²: r → 3r → F' = F/9 (maleje 9 razy) Satelita geostacjonarny (okres = doba gwiazdowa ≈ 86160 s, orbita kołowa równikowa).
Częste błędy
r to odległość od powierzchni :: r mierzymy od ŚRODKA ciała centralnego: r = R + h. Dla satelity nad powierzchnią r R.
Powtórka w 30 sekund
F ∝ 1/r², r od środka :: prawo ciążenia g = GM/r² :: natężenie pola (N/kg) v = √(GM/r) :: orbita kołowa T = 2π√(r³/GM) :: większy r → dłuższy T T²/a³ = const :: III Kepler (to samo centrum) E = −GMm/(2r) kołowa, −GMm/(2a) elipsa :: orbita związana v \text{e…
Kluczowe pojęcia
Prawo powszechnego ciążenia :: F = GMm/r²; G = 6,67·10⁻¹¹; r między środkami mas; symetria kulista; superpozycja wektorowa Natężenie pola grawitacyjnego :: g = GM/r² = F/m; [N/kg]; maleje z r²; na powierzchni g₀ = GM/R²; wewnątrz planety inna zależność Orbi…
Sprawdź się i przećwicz
sub :: Grawitacja to r od środka i warunki wzorów orbitalnych — sprawdź, czy pewnie liczysz v, T, energię i rozróżniasz orbitę kołową od eliptycznej. sprawdzian :: Prawo ciążenia, prawa Keplera, satelity i prędkości kosmiczne :: 15 min zbior :: Zadania mat…
Wzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Materiał z klas 1–4
Lekcje klasowe z tym materiałem
Źródła, format CKE i materiały ZPE
men :: Fizyka ZR — grawitacja i astronomia. Zakres: prawo powszechnego ciążenia, pole grawitacyjne, prawa Keplera, ruch satelitów, energia i prędkości kosmiczne.
W tej lekcji
ZJAWISKO I MODEL
WZORY I WYKRESY