Ruch planet i satelitów — prawa Keplera
Trzy prawa Keplera, T2=4π2r3/GM i satelita geostacjonarny
Po tej lekcji będziesz umieć
Sformułować trzy prawa Keplera i wskazać ich zastosowania
I elipsy, II równe pola, III T2∝r3
Zastosować III prawo Keplera do obliczania T lub r
T12/T22 = r13/r23
Obliczyć masę centralnego ciała z orbity satelity
M = 4π2r3/(GT2)
Opisać satelitę geostacjonarny i obliczyć jego orbitę
T = 24 h →
Zastosować zasadę zachowania pędu kątowego do ruchu orbitalnego
· = ·
Po co Ci to na maturze?
III prawo Keplera (T2∝r3) to jeden z najczęstszych wzorów na PR z grawitacji — pojawia się w zadaniach o planetach, Księżycu, satelitach. Pozwala obliczać r gdy znane T (lub odwrotnie) oraz wyznaczać masy ciał niebieskich. Na PP: porównanie T i r dla dwóch planet to zadanie 2-punktowe.
Najważniejsza idea
III prawo Keplera uniezależnia obliczenia od G i M — wystarczy stosunek T2/r3. Porównując dwie planety: 2/2 = 3/3. Jeśli znasz w latach i = 1 AU, wyliczyłeś bez żadnych stałych.
Intuicja zjawiska
Księżyc okrąża Ziemię w 27,3 dnia, a ISS w 92 minuty — bo ISS jest 60× bliżej środka Ziemi, a prędkość potrzebna do utrzymania orbity jest dla niej większa. Kometa Halleya ma T = 75 lat i bardzo wydłużoną orbitę — bliżej Słońca pędzi jak ISS (II prawo), daleko ledwo się porusza.
I prawo Keplera
Planety krążą po elipsach, w których Słońce zajmuje jedno z ognisk. Okrąg to szczególny przypadek elipsy (e = 0). Komety mają bardzo wydłużone elipsy (e blisko 1).
II prawo Keplera
Promień wodzący zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. Konsekwencja: szybciej w peryhelium (blisko Słońca), wolniej w aphelium. Wynika z zachowania L.
III prawo Keplera
T2/r3 = const dla wszystkich planet wokół tego samego ciała. T12/T22 = r13/r23. Wynika z grawitacji Newtona dla orbity kołowej.
Wielkości i jednostki
Okres T :: [s] lub [lata, dni] :: T = 2π√(r³/GM); T Z = 1 rok = 3,156·10⁷ s Promień orbity r :: [m] lub [AU] :: r = a (półoś wielka dla elipsy); 1 AU = 1,496·10¹¹ m Masa centralna M :: [kg] :: M = 4π²r³/(GT²); z danych orbitalnych satelity/księżyca :key Dla…
Modele i zasady
:rule I prawo Keplera Orbity planet = elipsy z Słońcem w ognisku. Dla orbity kołowej: Słońce w centrum.
Mapa praw Keplera i ruchu orbitalnego
:mapa-kepler
Teoria: wzory i interpretacje
III prawo Keplera (ogólna postać): T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \implies \frac{T 1^2}{T 2^2} = \frac{r 1^3}{r 2^3} Postać T^2/r^3 = \text{const} porównuje tylko orbity ciał krążących wokół tego samego ciała centralnego (np. planety wokół Słońca albo satelit…
Solver praw Keplera
:solver-kepler
Doświadczenie: weryfikacja III prawa Keplera z danych Układu Słonecznego
Cel: sprawdzić czy T²/r³ = const dla planet Układu Słonecznego. Hipoteza: III prawo Keplera: T² = (4π²/ \mathrm{GM} \text{Słońca} )·r³ → T²/r³ = const dla wszystkich planet.
Przykład rozwiązany
Zadanie (styl CKE PR): Ziemia krąży wokół Słońca z okresu T Z = 1 rok, r Z = 1 AU. Planeta X ma okres T X = 8 lat.
Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam
Księżyc krąży wokół Ziemi: T = 27,3 dni = 2,36·10⁶ s, r = 3,84·10⁸ m. 1.
Częste błędy
T²/r³ = const dla dowolnych ciał :: Nie! T²/r³ = const tylko dla obiektów krążących wokół tego samego ciała centralnego.
Powtórka w 30 sekund
To zapamiętaj przed zadaniami CKE T₁²/T₂² = r₁³/r₂³ :: III prawo Keplera r X = r Z ·( T X / T Z )^(2/3) :: szybki wzór M = 4π²r³/(GT²) :: masa z orbity v ∝ 1/√r :: bliżej = szybciej T \text{geo} = 24 h → r \text{geo} = 42 164 km :: geostacjonarny v \text{pe…
Kluczowe pojęcia
I prawo Keplera :: orbity = elipsy z Słońcem w ognisku; okrąg to e=0; mimośród e: Ziemia 0,017, Halley 0,967 II prawo Keplera :: równe pola w równych czasach; wynika z zachowania L = mvr; v \text{pery} v \text{aph} III prawo Keplera :: T² ∝ r³; T²/r³ = 4π²/…
Sprawdź się i przećwicz
sub :: Trzy prawa Keplera to klucz do astronomii — sprawdź, czy III prawo działa w twoich rękach bez G i M. sprawdzian :: Prawa Keplera — T, r i masy planet :: 15 min zbior :: Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.
Wzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Powtórka do matury
Ten temat na maturze
Źródła, format CKE i materiały ZPE
men :: Fizyka ZR, dział V pkt 2 — Prawa Keplera. Zakres: trzy prawa Keplera, ruch orbitalny, satelita geostacjonarny.
W tej lekcji
ZJAWISKO I MODEL