NexTutor
Dział FIZ.2.2›Energia potencjalna grawitacji i prędkości kosmiczne
FIZ.2.2.3

Energia potencjalna grawitacji i prędkości kosmiczne

Ep=−GMm/r, EtotE_\text{tot}=−GMm/(2r), v1=7,9 km/s i v2=11,2 km/s

energia potencjalna grawitacjiprędkość I kosmicznaprędkość II kosmicznaenergia całkowitaZZE grawitacjamatura fizyka ZR⏱ ~65 min
⏱ ~65 min
Energia potencjalna grawitacji i prędkości kosmiczne
1

Po tej lekcji będziesz umieć

1

Zapisać i interpretować energię potencjalną grawitacji Ep = −GMm/r

ujemna, Ep→0 gdy r→∞

2

Obliczyć energię całkowitą ciała na orbicie E = −GMm/(2r)

i ocenić czy ciało jest związane

3

Wyprowadzić prędkość I kosmiczną v1 = √(GM/R)

i prędkość II kosmiczną v2 = √2·v1

4

Zastosować ZZE w polu grawitacyjnym

EtotE_\text{tot} = Ek + Ep = const (bez sił niezachowawczych)

5

Wyjaśnić różnicę między v1, v2 i v3

orbitalna, ucieczka z Ziemi, ucieczka z US

2

Po co Ci to na maturze?

Energia grawitacyjna Ep = −GMm/r i prędkości kosmiczne to obowiązkowy materiał PR. Zadania wymagają ZZE w polu grawitacyjnym (nie mgh, ale −GMm/r), obliczania v1 i v2 oraz porównywania energii ciała na różnych orbitach. Ep = mgh jest przybliżeniem dla małych h.

Najważniejsza idea

Dlaczego Ep ujemna? Poziom odniesienia to r→∞ (Ep = 0). Aby wyrwać ciało z pola, trzeba dostarczyć energię =: Ep|. Ciało związane (E < 0) wymaga energii do ucieczki; ciało wolne (E ≥ 0) ucieka na nieskończoność.

3

Intuicja zjawiska

Wyobraź sobie studnię grawitacyjną: im bliżej centrum Ziemi, tym głębiej (Ep bardziej ujemne). Wyrwanie się wymaga wspięcia się na poziom 0 (r→∞). Prędkość II kosmiczna to minimalna prędkość, przy której masz dokładnie tyle energii kinetycznej, żeby wspiąć się na sam „wierzchołek studni" — bez nadmiaru.

Energia potencjalna grawitacji

Ep = −GMm/r [J]. Zawsze ujemna (dla r > 0). Ep → 0 gdy r → ∞. ΔEp = GMm(1/r1 − 1/r2) — praca siły grawitacji.

Energia całkowita na orbicie kołowej

E = Ek + Ep = GMm/(2r) − GMm/r = −GMm/(2r). Zawsze ujemna dla orbity związanej. Im mniejsza orbita, tym mniejsze (bardziej ujemne) E.

Prędkości kosmiczne

v1 = √(GMZ\mathrm{GM}_Z/RZRZ) ≈ 7,9 km/s (I kosm., orbita przy pow.). v2 = √2·v1 ≈ 11,2 km/s (II kosm., ucieczka z Ziemi). v3 ≈ 16,7 km/s (III kosm., ucieczka z US).

4

Wielkości i jednostki

Ep grawitacyjna :: [J] :: Ep = −GMm/r; ujemna; poziom 0 przy r→∞; Ep = mgh tylko dla h << R Energia całkowita :: [J] :: E = Ek + Ep; E < 0: orbita; E = 0: parabola; E 0: hiperbola (ucieczka) Prędkość I kosmiczna :: [m/s] lub [km/s] :: v₁ = √(gR) = 7,9 km/s;…

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
5

Modele i zasady

:rule Energia potencjalna grawitacji Ep = −GMm/r. Ujemna dla każdego r 0.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
6

Mapa energii grawitacyjnej i prędkości kosmicznych

:mapa-vkosm

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
7

Teoria: wzory i interpretacje

Energia potencjalna grawitacji: E p = -\frac{GMm}{r} Wzór obowiązuje przy wyborze poziomu odniesienia Ep(∞) = 0, dla masy punktowej albo ciała kulisto-symetrycznego, gdy r liczymy od środka masy i jesteśmy na zewnątrz ciała. Ep jest ujemna dla każdego r 0.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
8

Solver energii kosmicznych

:solver-vkosm

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
9

Doświadczenie: modelowe potwierdzenie $E_\text{tot}$ < 0 dla satelity

Cel: porównać energie Ek i Ep satelity na różnych orbitach, potwierdzić E \text{tot} = const. Hipoteza: dla orbity kołowej E = −GMm/(2r).

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
10

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE PR): Rakieta o masie m = 1000 kg startuje z powierzchni Ziemi. Jaka minimalna praca musi być wykonana, aby ją wysłać na orbitę kołową na wysokości h = 400 km?

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
11

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Sonda kosmiczna ma masę m = 500 kg i startuje z powierzchni Ziemi. 1.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
12

Częste błędy

Ep = mgh w zadaniach kosmicznych :: Ep = mgh to przybliżenie dla h << R Z . Dla orbit: zawsze Ep = −GMm/r.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
13

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE Ep = −GMm/r :: ujemna zawsze E \text{orbita} = −GMm/(2r) :: kołowa v₁ = √(g₀R) ≈ 7,9 km/s :: I kosm. v₂ = √2·v₁ ≈ 11,2 km/s :: II kosm.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
14

Kluczowe pojęcia

Energia potencjalna grawitacji :: Ep = −GMm/r [J]; ujemna; poziom 0 przy r→∞; praca pola: W=−ΔEp; pole zachowawcze Energia całkowita :: E = Ek + Ep; E<0: ciało związane (orbita); E=0: parabola (prędkość ucieczki); E 0: hiperbola Prędkość I kosmiczna :: v₁ =…

Zaloguj się, aby zobaczyć całość
15

Sprawdź się i przećwicz

sub :: Energia w polu grawitacyjnym rządzi lotem każdej rakiety — sprawdź, czy rozumiesz, dlaczego Ep jest ujemna. sprawdzian :: Energia grawitacyjna i prędkości kosmiczne :: 15 min zbior :: Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Pierwsza prędkość kosmicznavI=GMRv_I=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}Druga prędkość kosmicznavII=2GMRv_{II} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}Ciężar (siła grawitacji)F=mgF = mgPrzyspieszenie grawitacyjne przy powierzchnig=GMR2g = \dfrac{GM}{R^2}Miesiąc synodyczny (cykl faz)Tsyn=29,53059 dT_{syn} = 29{,}53059\ \text{d}Miesiąc syderyczny (względem gwiazd)Tsyd=27,32166 dT_{syd} = 27{,}32166\ \text{d}Cykl Saros223 Tsyn=6585,32 d≈18lat 11d 8h223\,T_{syn} = 6585{,}32\ \text{d} \approx 18^{\text{lat}}\,11^{\text{d}}\,8^{\text{h}}Rozmiar kątowy ciałaα=2arctan⁡ ⁣d2D≈dD\alpha = 2\arctan\!\frac{d}{2D} \approx \frac{d}{D}

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Grawitacja i astronomia — zadania maturalne
16

Źródła, format CKE i materiały ZPE

men :: Fizyka ZR, dział V pkt 3 — Energia w polu grawitacyjnym. Zakres: Ep = −GMm/r, energia całkowita, prędkości kosmiczne.

Zaloguj się, aby zobaczyć całość

W tej lekcji

Postęp:6%
Zbiór zadańkrok po kroku Matura próbnaarkusz
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →