Kalkulator funkcji kwadratowej

Q: Co oznacza Δ < 0?

Wyróżnik ujemny znaczy, że parabola nie przecina osi OX — funkcja nie ma miejsc zerowych w liczbach rzeczywistych (istnieją tylko zespolone).

Q: Do czego służy postać kanoniczna?

a(x−p)² + q od razu pokazuje wierzchołek (p, q) i ułatwia rysowanie oraz odczyt wartości największej/najmniejszej funkcji.

Delta · miejsca zerowe · wierzchołek · postać kanoniczna · wykres

Kalkulator funkcji kwadratowej — ilustracja

Współczynnik a (≠ 0)Współczynnik bWspółczynnik c

f(x) = 1x² − 2x − 3

Wyróżnik Δ = b² − 4ac16

Miejsca zerowex₁ = -1, x₂ = 3

Wierzchołek W(p, q)(1, -4)

Oś symetriix = 1

Przecięcie z OY(0, -3)

Postać kanoniczna1(x − 1)² − 4

Postać iloczynowa1(x + 1)(x − 3)

Ramiona / wartośćw górę → minimum q = -4

Funkcja kwadratowa to $f(x)=ax^2+bx+c$ (gdzie $a\neq0$ ). Kluczem do wszystkiego jest wyróżnik:

$\Delta=b^2-4ac \qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Gdy $\Delta>0$ są dwa miejsca zerowe, $\Delta=0$ — jedno (podwójne), $\Delta<0$ — brak w zbiorze liczb rzeczywistych. Wierzchołek paraboli to $W=\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ .

Kalkulator podaje też postać kanoniczną $a(x-p)^2+q$ , iloczynową $a(x-x_1)(x-x_2)$ , oś symetrii, przecięcie z osią OY oraz rysuje wykres paraboli z zaznaczonym wierzchołkiem i miejscami zerowymi.

Przykłady

x² − 2x − 3

→ Δ = 16; x₁ = −1, x₂ = 3; W(1, −4)

x² − 4x + 4

→ Δ = 0; jedno miejsce zerowe x = 2 (podwójne)

x² + x + 1

→ Δ = −3 < 0; brak miejsc zerowych w ℝ

Powiązane materiały

Wzór: wyróżnik Δ → Wzór: współrzędne wierzchołka → Wzór: postać kanoniczna →

Najczęstsze pytania

Co oznacza Δ < 0?+

Wyróżnik ujemny znaczy, że parabola nie przecina osi OX — funkcja nie ma miejsc zerowych w liczbach rzeczywistych (istnieją tylko zespolone).

Do czego służy postać kanoniczna?+

a(x−p)² + q od razu pokazuje wierzchołek (p, q) i ułatwia rysowanie oraz odczyt wartości największej/najmniejszej funkcji.

← Wszystkie kalkulatory