NexTutor
Baza wiedzy/Kalkulatory/Pochodne i całki wielomianu

Pochodne i całki wielomianu

Pochodna · całka nieoznaczona i oznaczona

Pochodne i całki wielomianu — ilustracja
Pochodna f ′(x)
9x² − 4x + 5
Całka ∫ f(x) dx
0,75x⁴ − 0,666667x³ + 2,5x² − 7x + C
Całka oznaczona (pole) oddo=2,666667

Reguły: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C. Całka oznaczona ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a) daje pole pod wykresem.

Różniczkowanie i całkowanie wielomianów opiera się na jednej regule dla każdej potęgi:

(axn)=naxn1axndx=an+1xn+1+C\left(a\,x^n\right)'=n\,a\,x^{\,n-1}\qquad \int a\,x^n\,dx=\frac{a}{n+1}\,x^{\,n+1}+C

Wpisz wielomian (potęgi przez ^, np. 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7), a kalkulator poda pochodną i całkę nieoznaczoną. Podając granice aa i bb, policzysz całkę oznaczoną:

abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

która ma interpretację pola pod wykresem funkcji na przedziale [a,b][a,b].

Przykłady

f(x) = x² − 4x + 3
f ′(x) = 2x − 4, ∫f dx = x³/3 − 2x² + 3x + C
∫ (x²−4x+3) dx od 0 do 2
= 8/3 − 8 + 6 = 2/3 ≈ 0,667

Powiązane materiały

Najczęstsze pytania

Jak policzyć pochodną xⁿ?+

Regułą potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Mnożysz przez wykładnik i zmniejszasz go o 1. Stała ma pochodną 0, a pochodna sumy to suma pochodnych.

Co to całka oznaczona?+

Liczba równa F(b) − F(a), gdzie F to funkcja pierwotna. Geometrycznie to pole między wykresem a osią X na przedziale [a, b] (pole poniżej osi liczone jest na minus).