NexTutor
Dział FIZ.1.1›Rzut poziomy, rzut ukośny i prędkość względna
FIZ.1.1.3

Rzut poziomy, rzut ukośny i prędkość względna

Niezależność ruchów, parabola i galilejskie dodawanie prędkości

rzut poziomyrzut ukośnyzasada niezależnościzasięgtrajektoriaskładowe prędkościmatura fizyka ZR⏱ ~28 min
⏱ ~28 min
Rzut poziomy, rzut ukośny i prędkość względna
1

Po tej lekcji będziesz umieć

1

Rozłożyć prędkość początkową na składowe

vx = v0cosα, vy0 = v0sinα

2

Opisać ruch poziomy i pionowy niezależnie

ax = 0, ay = −g

3

Obliczyć czas lotu T, zasięg R i maksymalną wysokość H

wzory z rozłożenia

4

Odróżnić rzut poziomy od rzutu ukośnego

α = 0 vs α > 0

5

Zastosować zasadę niezależności ruchów

do zadań CKE PP i PR

6

Dodać prędkości w różnych układach odniesienia

vACv_\text{AC} = vABv_\text{AB} + vBCv_\text{BC} (wektorowo) — pociąg i łódź na rzece

2

Po co Ci to na maturze?

Rzuty to jeden z obowiązkowych działów kinematyki na maturze z fizyki — zadania pojawiają się zarówno na PP (rzut poziomy, obliczenie zasięgu), jak i na PR (rzut ukośny, wyznaczanie kąta max zasięgu, analiza trajektorii).

Najważniejsza idea

Klucz do rzutów to jedna zasada: ruch poziomy i pionowy są od siebie NIEZALEŻNE. Składowa pozioma nie "wie" o grawitacji, a pionowa nie "wie" o prędkości poziomej.

3

Intuicja zjawiska

Wystrzel kulkę poziomo ze stołu. Jednocześnie upuść drugą kulkę z tej samej wysokości. Obie uderzą w podłogę DOKŁADNIE w tym samym momencie. Grawitacja działa tak samo — pozioma prędkość pierwszej nie opóźnia ani nie przyspiesza spadania.

Rzut poziomy (α = 0)

v0 całkowicie pozioma — vx = v0, vy0 = 0. Czas lotu z h = ½gt2. Zasięg R = v0·T. Tor: parabola otwarta w dół.

Rzut ukośny (α > 0)

Rozkład: vx = v0cosα, vy0 = v0sinα. Maks. zasięg dla α = 45°. Maks. wysokość gdy vy = 0.

Niezależność ruchów

x = vx·t (ruch jednostajny!); y = vy0t − ½gt2 (RJP w pionie). Dwie niezależne osi.

4

Wielkości i jednostki

Rzut poziomy

v0 [m/s], h [m], g = 9,81 m/s2

T = √(2h/g); R = v0·T; vkonˊcowav_\text{końcowa} = √(vx2+vy2)

Rzut ukośny

v0 [m/s], α [°], g = 9,81 m/s2

T = 2vy0/g; R = v02sin(2α)/g; H = vy02/(2g)

Zapamiętaj

Układ odniesienia: Układ współrzędnych (i obserwator) względem którego opisujemy ruch; prędkość ciała zależy od wyboru układu; w układach inercjalnych prawa Newtona zachowują formę.

Zapamiętaj

Maksymalny zasięg: Kąt α = 45° daje maksymalny zasięg Rmax⁡R_{\max} = v02/g — ale tylko przy starcie i lądowaniu na tym samym poziomie oraz bez oporu powietrza. Uzupełniające kąty (30° i 60°) dają ten sam zasięg.

5

Modele i zasady

Szybka zasada

Niezależność ruchów: Ruch poziomy: ax = 0, vx = const, x = vx·t. Ruch pionowy: ay = −g dla osi y w górę (a = +g dla osi w dół) — g = 9,81 m/s2 to zawsze dodatnia wartość, znak wynika z wyboru osi. vy = vy0 − g·t, y = vy0t − ½gt2. Oba działają jednocześnie.

Szybka zasada

Czas lotu: Rzut poziomy: T = √(2h/g) — dla startu poziomego (v0y = 0) z wysokości h i bez oporu powietrza. Rzut ukośny z poziomu: T = 2vy0/g = 2v0sinα/g (symetria — czas wznoszenia = czas opadania).

Szybka zasada

Trajektoria rzutu ukośnego: Eliminując t: y = x·tanα − gx2/(2vx2). Parabola. Nie można uprościć do krzywej innego rodzaju.

Szybka zasada

Warunki wzorów T, R, H: Wzory T = 2v0sinα/g, R = v02sin(2α)/g, H = v02sin2α/(2g) obowiązują dla modelu: brak oporu powietrza, stałe g, start i lądowanie na tym samym poziomie, oś y skierowana w górę.

7

Teoria: wyprowadzenie wzorów

Równania ruchu:

x(t)=vx⋅t,vx=v0cos⁡αx(t) = vx \cdot t, \quad vx = v0 \cos\alpha

y(t)=vy0t−12gt2,vy0=v0sin⁡αy(t) = v_{y0} t - \frac{1}{2}g t2, \quad v_{y0} = v0 \sin\alpha

Czas lotu (warunek y(T) = 0 dla rzutu ukośnego z poziomu):

vy0T−12gT2=0  ⟹  T=2vy0g=2v0sin⁡αgv_{y0}T - \frac{1}{2}gT^2 = 0 \implies T = \frac{2v_{y0}}{g} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}

Zasięg:

R=vx⋅T=v0cos⁡α⋅2v0sin⁡αg=v02sin⁡(2α)gR = vx \cdot T = v0 \cos\alpha \cdot \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{v0^2 \sin(2\alpha)}{g}

Maksymalna wysokość (gdy vy=0vy = 0, czyli tH=vy0/gtH = v_{y0}/g):

H=vy0⋅tH−12gtH2=vy022g=v02sin⁡2α2gH = v_{y0} \cdot tH - \frac{1}{2}g tH^2 = \frac{v_{y0}^2}{2g} = \frac{v0^2 \sin^2\alpha}{2g}

Szybka zasada

Prędkość końcowa rzutu poziomego: vx = const, vy = g·t. Moduł: vkonˊcv_\text{końc} = √(vx2 + vy2); kąt z poziomem: tanθ = vy/vx. Zawsze vkonˊcv_\text{końc} > v0, bo energia potencjalna zamienia się w kinetyczną — szybkość rośnie podczas spadania.

vx = v0cosα

składowa pozioma

vy0 = v0sinα

składowa pionowa

T = 2vy0/g

czas lotu (ukośny)

R = v02sin(2α)/g

zasięg

H = vy02/(2g)

maks. wysokość

α = 45°

maks. zasięg

8

Solver zadań z rzutów

Solver · Procedura rozwiązania

Solver zadań z rzutów — krok po kroku

Rozkład
1

Typ rzutu

Poziomy (α=0) czy ukośny (α>0)?

v0 poziomeα = kąt rzutu
2

Rozkład v0

vx = v0cosα, vy0 = v0sinα

α = 0 → vx = v0, vy0 = 0
3

Konwencja osi

y w górę: ay = −g; w dół: +g

y(0) = hx(0) = 0
Równania
4

Równanie x(t)

x = vx·t (ruch jednostajny)

ax = 0vx = const
5

Równanie vy(t)

vy = vy0 − g·t

vy = 0 gdy Hg = 9,81 m/s2
6

Równanie y(t)

y = vy0·t − ½g·t2

y(T) = 0lub y(T) = h0
Wynik
7

Znajdź t0

Z warunku (y=0, vy=0, itp.)

T lotuczas do H
8

Oblicz R lub H

Podstaw t0 do x(t) lub y(t)

R = vx·TH = vy02/2g
9

Sprawdź sens

R > 0, H > 0, T > 0, jednostki

v = √(vx2+vy2)θ = atan(vy/vx)
9

Doświadczenie: wyznaczenie prędkości początkowej z rzutu poziomego

Cel: wyznaczyć prędkość poziomą kulki wylatującej z toru na stole.

Hipoteza: dla rzutu poziomego R = v0·T i T = √(2h/g), więc v0 = R/√(2h/g) = R·√(g/(2h)).

ZmiennaTypOpis
h — wysokość stołuniezależnamierzona linijką
R — zasięg poziomyzależnaodległość uderzenia od krawędzi
masa kulki, opór powietrzakontrolowanepominięte
1

Zmierz wysokość stołu h (np. h = 0,800 m)

dokładność ±0,001 m
2

Puść kulkę z toru — oznacz ślad uderzenia na podłodze

powtórz 5 razy
3

Zmierz R (odległość od krawędzi stołu do śladu)

Rˉ\bar R = średnia z 5 prób
4

Oblicz czas lotu T = √(2h/g)

T = √(2·0,8/9,81) ≈ 0,404 s
5

Oblicz v0 = Rˉ\bar R/T

sprawdź jednostki m/s

Wzór na prędkość początkową:

v0=R⋅g2hv0 = R \cdot \sqrt{\frac{g}{2h}}

Szybka zasada

Źródła niepewności: Dokładność pomiaru R (±5 mm przy zaznaczaniu śladu), nierówna podłoga, opór powietrza (mały dla kulki metalowej).

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δv0 = √((δR)2 + ½(δh)2). Dla δR = 1%, δh = 0,1%: δv0 ≈ 1%. Błąd zdominowany przez pomiar R.

Wniosek: Metoda rzutu poziomego pozwala wyznaczyć prędkość bez bezpośredniego pomiaru czasu — wystarczy zmierzyć h i R.

10

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Piłka wyrzucona z kątem α = 30° z prędkością v0 = 20 m/s (g = 10 m/s2). Oblicz: (a) czas lotu, (b) zasięg, (c) maksymalną wysokość.

1. Rozkład prędkości:

vx=20cos⁡30°=20⋅32≈17,3 m/svx = 20 \cos 30° = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17{,}3 \, m/s

vy0=20sin⁡30°=20⋅0,5=10 m/sv_{y0} = 20 \sin 30° = 20 \cdot 0{,}5 = 10 \, m/s

2. Czas lotu:

T=2vy0g=2⋅1010=2,0 sT = \frac{2v_{y0}}{g} = \frac{2 \cdot 10}{10} = 2{,}0 \, s

3. Zasięg:

R=vx⋅T=17,3⋅2,0≈34,6 mR = vx \cdot T = 17{,}3 \cdot 2{,}0 \approx 34{,}6 \, m

4. Maks. wysokość:

H=vy022g=10020=5,0 mH = \frac{v_{y0}^2}{2g} = \frac{100}{20} = 5{,}0 \, m

Zapamiętaj

Sprawdzenie wzorem: R = v02sin(60°)/g = 400·0,866/10 ≈ 34,6 m ✓

11

Prędkość w różnych układach odniesienia

Szybka zasada

Galilejskie dodawanie prędkości: vACv_\text{AC} = vABv_\text{AB} + vBCv_\text{BC} — to dodawanie wektorowe, nie arytmetyczne. vABv_\text{AB} — prędkość ciała A względem układu B; vBCv_\text{BC} — prędkość układu B względem C; vACv_\text{AC} — prędkość A względem C. Przy ruchu 1D dodajesz ze znakiem; przy składowych prostopadłych (łódź na rzece) — geometrycznie (twierdzenie Pitagorasa).

Przykład 1 — pociąg (1D): Człowiek idzie w pociągu z prędkością v1 = 2 m/s. Pociąg jedzie z V = 30 m/s względem peronu.

  • Człowiek w tym samym kierunku co pociąg: vczłv_\text{czł}−peron = 30 + 2 = 32 m/s
  • Człowiek w kierunku przeciwnym: vczłv_\text{czł}−peron = 30 − 2 = 28 m/s

Przykład 2 — łódź na rzece (2D): Łódź płynie prostopadle do brzegu z v = 4 m/s (względem wody). Rzeka płynie z u = 3 m/s wzdłuż brzegu. Prędkość łodzi względem brzegu:

vłoˊdzˊ-brzeg=v2+u2=42+32=25=5 m/sv_{\text{łódź-brzeg}} = \sqrt{v2 + u2} = \sqrt{42 + 32} = \sqrt{25} = 5 \text{ m/s}

Kąt znoszenia od kierunku prostopadłego: tan⁡θ=u/v=3/4⇒θ≈36,9°\tan\theta = u/v = 3/4 \Rightarrow \theta \approx 36{,}9°

Układ odniesieniaPrędkość łodziKierunek
Względem wody4 m/sProstopadle do brzegu
Względem brzegu5 m/sPod kątem 36,9° od prostopadłej

1D: ten sam kierunek

vACv_\text{AC} = vABv_\text{AB} + vBCv_\text{BC} (arytmetycznie)

1D: kierunek przeciwny

vACv_\text{AC} = vABv_\text{AB} − vBCv_\text{BC}

2D: prostopadłe składowe

vACv_\text{AC} = √(vABv_\text{AB}2 + vBCv_\text{BC}2)

Kąt znoszenia

tanθ = vBCv_\text{BC} / vABv_\text{AB}

Zapamiętaj

Zasada Galileusza: prawa mechaniki mają tę samą postać we WSZYSTKICH układach inercjalnych (poruszających się ruchem jednostajnym prostoliniowym). Prędkość ciała zależy od wyboru układu — nie ma wyróżnionego układu bezwzględnego.

12

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Kulka spada z krawędzi urwiska o wysokości h = 20 m z prędkością poziomą v0 = 15 m/s (g = 10 m/s2).

  1. Oblicz czas lotu T.
  2. Oblicz zasięg R.
  3. Oblicz prędkość tuż przed uderzeniem (moduł i kąt z poziomem).
  4. (PR) Jak zmieni się zasięg, jeśli v0 wzrośnie dwukrotnie? Uzasadnij.
13

Częste błędy

vy0 = v0cosα

Nie! vy0 = v0sinα (składowa pionowa = sin), vx = v0cosα (pozioma = cos). Rysuj trójkąt!

T = √(2h/g) zawsze

Tylko dla rzutu poziomego z wysokości h. Dla rzutu ukośnego z poziomu: T = 2vy0/g.

Maksymalny zasięg dla α = 90°

Nie! α = 90° to rzut pionowy (zasięg = 0). Maks. R dla α = 45°: sin(2·45°) = sin90° = 1.

Grawitacja działa tylko gdy vyvy = 0

Nie! Grawitacja działa przez cały czas lotu, nawet w najwyższym punkcie.

Prędkość w najwyższym punkcie = 0

Nie! Tylko vy = 0. Prędkość pozioma vx = v0cosα ≠ 0 (chyba że α = 90°).

Dodawanie prędkości algebraicznie w 2D

Gdy prędkości nie są równoległe, dodajemy wektorowo: v = √(v12+v22). Algebraiczne dodanie daje błędny wynik.

Pokaż więcej błędów (1)

R = v02/g dla każdego α

Wzór R = v02sin(2α)/g. Maksimum dla α = 45° → Rmax⁡R_{\max} = v02/g, nie dla każdego α.

14

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

vx = v0cosα

pozioma składowa

vy0 = v0sinα

pionowa składowa

T = 2vy0/g

czas lotu

R = v02sin(2α)/g

zasięg

H = vy02/(2g)

max wysokość

α = 45° → Rmax⁡R_{\max}

max zasięg

Zapamiętaj

Niezależność ruchów: oś x — ruch jednostajny (ax = 0); oś y — swobodny spadek (ay = −g). Oba jednocześnie.

15

Kluczowe pojęcia

Rzut poziomy

ruch ciała z prędkością początkową poziomą (α = 0); vy0 = 0, czas lotu T = √(2h/g)

Rzut ukośny

ruch z prędkością pod kątem α do poziomu; rozkład v0 na dwie prostopadłe składowe

Zasada niezależności ruchów

składowe pozioma i pionowa nie wpływają na siebie; można je analizować osobno

Zasięg

R = pozioma odległość od miejsca rzutu do miejsca lądowania; zależy od v0 i α

Trajektoria

tor ruchu ciała w przestrzeni; dla rzutów — parabola otwarta w dół

Kąt α = 45°

kąt dający maksymalny zasięg: Rmax⁡R_{\max} = v02/g; kąty uzupełniające dają równe zasięgi

16

Sprawdź się i przećwicz

Zasada niezależności ruchów to fundament — sprawdź, czy potrafisz rozłożyć problem na dwie osie.

Sprawdzian z lekcji

~15 min

Rzut poziomy i ukośny — obliczenia

Zrób sprawdzian

Zbiór zadań z fizyki

krok po kroku

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.

Przejdź do zadań

Matura próbna z fizyki

CKE-style · PR

Rzuty — analiza danych i trajektoria

Wypróbuj maturę próbną

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Czas spadania w rzucie poziomymt=2hgt=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}Zasięg rzutu poziomegox=v0tx=v_0 t

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Kinematyka maturalna — opis ruchu i wykresy
17

Źródła, format CKE i materiały ZPE

Podstawa programowa MEN

MEN 2023 / zakres zgodny

Fizyka ZR, dział I pkt 4 — Kinematyka. Zakres: rzut poziomy i ukośny, zasada niezależności ruchów, zasięg i wysokość.

Format CKE

matura PP+PR / rzuty

Typowe zadania: obliczanie T, R, H dla rzutu ukośnego; analiza składowych prędkości; zadania doświadczalne (rzut z krawędzi stołu). Punktacja: 2–4 pkt.

rzut poziomyrzut ukośnyzasada niezależności ruchówzasięgtrajektoriaskładowe prędkościmatura fizyka ZR

Źródła: MEN — podstawa programowa 2023; CKE — informator maturalny PR 2023 i arkusze 2023–2025; ZPE — moduł rzutów.

W tej lekcji

Postęp:6%
Zbiór zadańkrok po kroku Matura próbnaarkusz
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →