NexTutor
Dział FIZ.1.1›Ruch jednostajnie przyspieszony — równania i wykresy
FIZ.1.1.2

Ruch jednostajnie przyspieszony — równania i wykresy

Cztery wzory kinematyczne i ich zastosowania

RJPrównania kinematyczneswobodny spadekwykresy v(t)x(t)przyspieszeniematura fizyka ZR⏱ ~55 min
⏱ ~55 min
Ruch jednostajnie przyspieszony — równania i wykresy
1

Po tej lekcji będziesz umieć

1

Zapisać i stosować 4 równania kinematyczne RJP

v = v0+at, Δx = v0t+½at2, v2 = v02+2aΔx, vˉ\bar v = (v0+v)/2

2

Narysować i zinterpretować wykresy x(t), v(t), a(t)

dla ruchu jednostajnego i RJP

3

Rozpoznać i obliczyć swobodny spadek

jako szczególny przypadek RJP z a = g = 9,81 m/s2

4

Rozwiązać typowe zadanie CKE krok po kroku

wybierając właściwe równanie kinematyczne

5

Ocenić sensowność wyniku

sprawdzając jednostki i znak przyspieszenia

2

Po co Ci to na maturze?

Ruch jednostajnie przyspieszony (RJP) to najczęstszy typ zadania na maturze z fizyki — pojawia się w ~60% arkuszy PP i PR. Cztery równania kinematyczne to fundament, bez którego nie da się rozwiązać ani rzutów ukośnych, ani zadań z siłami Newtona.

Najważniejsza idea

Swobodny spadek to RJP z a = g = 9,81 m/s2 — te same wzory, tylko zamiast a wstawiasz g. Na maturze PR to najczęstsze pytanie doświadczalne: oblicz g z czasu spadku.

3

Intuicja zjawiska

Wyobraź sobie auto ruszające spod świateł: każdą sekundę prędkość rośnie o tę samą wartość — to właśnie stałe przyspieszenie. Na wykresie v(t) widać prostą (nie krzywą!) — nachylenie tej prostej to przyspieszenie a.

Prędkość chwilowa

v = v0 + at — zmienia się liniowo z czasem. Dodatnie a → wzrost, ujemne a → spadek (hamowanie).

Położenie

Δx = v0t + ½at2 — parabola na wykresie x(t). Pole pod v(t) = Δx (geometria!).

Swobodny spadek

Szczególny przypadek RJP: a = g = 9,81 m/s2, kierunek w dół. Bez oporu powietrza masa nie ma znaczenia.

4

Wielkości i jednostki

Kinematyka — dane wejściowe

v0 [m/s], a [m/s2], t [s], Δx [m]

Zawsze sprawdzaj znaki — oś x w górę/w prawo = plus; w dół/w lewo = minus.

Kinematyka — szukane

v [m/s], Δx [m], t [s]

Potrzebujesz 3 z 5 wielkości, żeby wyliczyć pozostałe 2.

Zapamiętaj

5 zmiennych kinematycznych: v0, v, a, t, Δx — każde z 4 równań pomija dokładnie jedną z nich. Wybierz równanie bez tej, której nie znasz.

5

Modele i zasady

Szybka zasada

4 równania kinematyczne RJP: v = v0 + at (brak Δx); Δx = v0t + ½at2 (brak v); v2 = v02 + 2aΔx (brak t); vˉ\bar v = (v0+v)/2 = Δx/t (brak a)

Szybka zasada

Wykresy RJP: x(t): parabola (ramiona w górę gdy a > 0); v(t): prosta ukośna (nachylenie = a); a(t): pozioma linia (a = const)

Szybka zasada

Swobodny spadek: g = 9,81 m/s2 to zawsze dodatnia wartość przyspieszenia ziemskiego; znak w równaniach wynika z wyboru osi: a = +g gdy oś y w dół, a = −g gdy oś y w górę. Czas lotu z h: t = √(2h/g)

6

Mapa modelu kinematyki

Mapa modelu kinematyki RJP: od danych ruchu i wyboru osi, przez model a = const i cztery równania kinematyczne, po pole pod wykresem v(t) i kontrolę wynikuOtwórz figurę w nowej karcie ⤢

7

Teoria: wyprowadzenie wzorów i wykresy

Definicja przyspieszenia:

a=ΔvΔt=v−v0t  ⟹  v=v0+at(1)a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v0}{t} \implies v = v0 + at \quad (1)

Przemieszczenie jako pole trapezu pod v(t):

Δx=v0+v2⋅t=vˉ⋅t(4)\Delta x = \frac{v0 + v}{2} \cdot t = \bar{v} \cdot t \quad (4)

Podstawiając (1) do (4):

Δx=v0t+12at2(2)\Delta x = v0 t + \frac{1}{2}at^2 \quad (2)

Eliminując t z (1) i (2):

v2=v02+2aΔx(3)v2 = v0^2 + 2a\Delta x \quad (3)

Wykresy RJP (a > 0, v0 > 0):

WykresKształtCo czytamy
x(t)parabola (ku górze)nachylenie stycznej = v chwilowa
v(t)prosta ukośna (tu rosnąca, bo a > 0)nachylenie = a; pole algebraiczne = Δx
a(t)pozioma linia a = consta nie zależy od czasu w RJP

Uwaga ogólna: prosta v(t) rośnie dla a > 0, maleje dla a < 0, jest pozioma dla a = 0. Jej nachylenie zawsze równa się przyspieszeniu a, a pole algebraiczne pod nią — przemieszczeniu Δx.

Szybka zasada

Zatrzymanie — czas i miejsce: Gdy ciało hamuje (v0 > 0, a < 0): zatrzymuje się w t0 = v0/|a|. To wzór pochodny z v = v0+at (dla v = 0), a nie jedno z 4 podstawowych równań. Potem ciało zaczyna ruch w przeciwnym kierunku, jeśli siła nadal działa. Szukaj t0 z warunku v = 0.

v = v0 + at

prędkość w czasie t

Δx = v0t + ½at2

droga w czasie t

v2 = v02 + 2aΔx

bez czasu

vˉ\bar v = (v0+v)/2

prędkość średnia

a = g = 9,81 m/s2

swobodny spadek

t0 = v0/|a|

czas zatrzymania

8

Solver zadań z RJP

Solver · Procedura rozwiązania

Solver zadań kinematycznych — krok po kroku

Analiza problemu
1

Treść zadania

Co się dzieje? Jaki ruch?

kinematykawiązka CKE
2

Dane

Wypisz liczby + jednostki

v0, v, a, t, h
3

Szukane

Co obliczamy? Jakie pytanie?

jeden symboljeden wzór
Modelowanie
4

Wybór osi i znaków

Narysuj oś, ustal +/−

oś x lub ya = ±g
5

Model ruchu

a = 0? a = const? a = g?

RJ / RJP / spadek
6

Wzór

Dobierz wzór do szukanych

v=v0+atv2=v02+2aΔx
Obliczenia
7

Podstawienie

Wstaw liczby z jednostkami

przelicz km/h→m/sSI!
8

Wynik

Odpowiedź z jednostką

zaokrąglijsprawdź rząd
9

Interpretacja

Czy wynik ma sens fizyczny?

znak prędkościv ≤ vextmaksv_ ext{maks}
9

Doświadczenie: wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego z wykresu v(t)

Cel: wyznaczyć g mierząc prędkość spadającej kulki w dwóch różnych momentach przy użyciu fotokomórki.

Hipoteza: dla swobodnego spadku v(t) jest prostą — jej nachylenie = g.

Układ pomiarowy: zwalniacz elektromagnetyczny (start pomiaru), dwie fotokomórki na różnych wysokościach oraz kulka o znanej średnicy d. Dla każdej fotokomórki rejestrujemy dwie różne wielkości: czas od puszczenia kulki t (do przecięcia wiązki) oraz czas zasłonięcia wiązki τ (jak długo kulka przesłania fotokomórkę).

ZmiennaTypOpis
t — czas od puszczenianiezależnaod zwolnienia kulki do przecięcia wiązki
v — prędkość chwilowazależnav ≈ d/τ, gdzie τ = czas zasłonięcia wiązki
masa kulki, tor pionowykontrolowanebrak oporu powietrza
1

Ustaw dwie fotokomórki na różnych wysokościach (np. h1, h2)

dokładność linijki ±1 mm
2

Zwolnij kulkę bez nadawania prędkości; dla każdej fotokomórki odczytaj czas od puszczenia t oraz czas zasłonięcia wiązki τ

powtórz 5 razy
3

Oblicz prędkość chwilową: v1 = d/τ1 i v2 = d/τ2

d = średnica kulki (pomierzona)
4

Wykreśl punkty (t, v) — sprawdź czy leżą na prostej

odrzuć wartości odstające
5

Wyznacz nachylenie a = Δv/Δt = (v2−v1)/(t2−t1)

a ≈ g

Wzór na g z czasu spadku:

g=v2−v1t2−t1=nachylenie prostej v(t)g = \frac{v2 - v1}{t2 - t1} = \text{nachylenie prostej } v(t)

Szybka zasada

Źródła niepewności: Skończona średnica kulki (Δd ≈ 0,5 mm), rozdzielczość czasu fotokomórki rzędu ~1 ms (dużo lepsza niż czas reakcji człowieka przy stoperze), ewentualny ruch boczny kulki.

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δg ≈ (δv1 + δv2)/(v2−v1) · 100%, gdzie δvᵢ zależy głównie od δd i δτ. Fotokomórka o rozdzielczości rzędu milisekund daje δg rzędu 0,5% — znacznie lepiej niż ręczny stoper.

Wniosek: Wyznaczona wartość g ≈ (9,81 ± 0,05) m/s2 jest zgodna z wartością tablicową. Fotokomórki eliminują błąd reakcji człowieka.

10

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Auto rusza ze świateł z a = 3,0 m/s2. Po jakim czasie osiągnie v = 90 km/h? Ile metrów przejedzie do tego momentu?

1. Konwersja jednostek:

v=90 kmh⋅1000 m3600 s=25 m/sv = 90 \, \frac{km}{h} \cdot \frac{1000 \, m}{3600 \, s} = 25 \, m/s

2. Czas:

v=v0+at  ⟹  t=v−v0a=25−03,0≈8,3 sv = v0 + at \implies t = \frac{v - v0}{a} = \frac{25 - 0}{3{,}0} \approx 8{,}3 \, s

3. Droga:

Δx=v0t+12at2=0+12⋅3,0⋅(8,3)2≈104 m\Delta x = v0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 3{,}0 \cdot (8{,}3)^2 \approx 104 \, m

Sprawdzenie: v2=2aΔx=2⋅3,0⋅104=624≈625=252v2 = 2a\Delta x = 2 \cdot 3{,}0 \cdot 104 = 624 \approx 625 = 25^2 ✓

Zapamiętaj

Strategia: zawsze konwertuj do SI przed obliczeniami; sprawdź wynik drugim równaniem (masz 4, użyj dwóch).

11

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Kamień upuszczony ze szczytu klifu spada przez t = 3,0 s (zaniedbaj opór powietrza, g = 9,81 m/s2).

  1. Oblicz wysokość klifu h.
  2. Oblicz prędkość uderzenia v.
  3. (PR) Gdyby kamień rzucono poziomo z prędkością 10 m/s — czy czas spadku się zmieni? Uzasadnij.
12

Częste błędy

Droga = |Δx| zawsze

Tylko gdy kierunek ruchu się nie zmienia. Przy zatrzymaniu i zawróceniu: s = Δx+ + |Δx−|.

Prędkość średnia = (Δx1+Δx2)/(t1+t2)

Nie! vˉ\bar v = Δxcałkx_\text{całk} / tcałkt_\text{całk}. Wzór (v0+v)/2 działa TYLKO dla stałego a.

a = g zawsze w dół

Zależy od wyboru osi. Jeśli oś y w dół → a = +g; jeśli y w górę → a = −g. Konsekwencja!

Zatrzymanie = koniec ruchu

Tylko gdy nie ma siły. Przy a = const: ciało zatrzymuje się i rusza w tył.

v0 = 0 gdy spada

Tylko swobodny spadek. Przy rzucie poziomym v0x ≠ 0 — to dwie niezależne składowe.

Równanie (2) daje drogę, nie przemieszczenie

Δx = v0t + ½at2 to przemieszczenie (ze znakiem). Droga s ≥ |Δx|.

13

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

v = v0 + at

prędkość

Δx = v0t + ½at2

przemieszczenie

v2 = v02 + 2aΔx

bez czasu

g = 9,81 m/s2

swobodny spadek

t0 = v0/|a|

zatrzymanie

vˉ\bar v = (v0+v)/2

śr. prędkość (RJP)

Zapamiętaj

Wybór równania: masz 3 znane, szukasz 4. Który wzór nie zawiera tej jednej nieznanej, której NIE szukasz?

14

Kluczowe pojęcia

Ruch jednostajnie przyspieszony

ruch z a = const; prędkość zmienia się liniowo z czasem; v(t) — prosta

Przyspieszenie

a = Δv/Δt [m/s2]; zmiana prędkości na jednostkę czasu; ujemne = hamowanie

Swobodny spadek

RJP z a = g = 9,81 m/s2 skierowanym w dół; masa ciała nie ma znaczenia (bez oporu powietrza)

Równanie kinematyczne

jedno z 4 wzorów łączących v0, v, a, t, Δx; każde pomija jedną zmienną

Przemieszczenie

Δx = x(t) − x0 — wektorowe, ze znakiem; może być ujemne przy zawróceniu

Prędkość średnia

vˉ\bar v = Δx/t; dla RJP vˉ\bar v = (v0+v)/2; nie myl z 'prędkością w środku trasy'

15

Sprawdź się i przećwicz

Cztery równania kinematyczne to podstawa całej dynamiki — sprawdź, czy je opanowałeś.

Sprawdzian z lekcji

~15 min

Zadania z RJP i swobodnego spadku

Zrób sprawdzian

Zbiór zadań z fizyki

krok po kroku

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.

Przejdź do zadań

Matura próbna z fizyki

CKE-style · PR

RJP, wykresy v(t) i analiza danych

Wypróbuj maturę próbną

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonyms=v0t+12at2s=v_0 t+\tfrac12 a t^2Prędkość w ruchu przyspieszonymv=v0+atv=v_0+at

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Kinematyka maturalna — opis ruchu i wykresy
16

Źródła, format CKE i materiały ZPE

Podstawa programowa MEN

MEN 2023 / zakres zgodny

Fizyka ZR, dział I pkt 3 — Kinematyka. Zakres: ruch prostoliniowy, prędkość, przyspieszenie, swobodny spadek.

Format CKE

matura PP+PR / kinematyka

Typowe zadania: obliczenia z 4 równań kinematycznych, swobodny spadek, interpretacja wykresów v(t) i x(t). Punktacja: 2–4 pkt za zadanie.

ruch jednostajnie przyspieszonyRJPrównania kinematyczneswobodny spadekwykresyv(t)x(t)matura fizyka ZR

Źródła: MEN — podstawa programowa 2023; CKE — informator maturalny PR 2023 i arkusze 2023–2025; ZPE — moduł kinematyki RJP.

W tej lekcji

Postęp:6%
Zbiór zadańkrok po kroku Matura próbnaarkusz
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →