NexTutor
Dział FIZ.1.3›Energia kinetyczna i potencjalna
FIZ.1.3.2

Energia kinetyczna i potencjalna

Ek, Ep, Esp — rodzaje energii mechanicznej i twierdzenie o pracy

energia kinetycznaenergia potencjalnasprężystośćtwierdzenie o pracyZZEmatura fizyka ZR⏱ ~55 min
⏱ ~55 min
Energia kinetyczna i potencjalna
1

Po tej lekcji będziesz umieć

1

Obliczyć energię kinetyczną Ek = ½mv2

i wskazać jej zależność od v2

2

Obliczyć energię potencjalną grawitacyjną Ep = mgh

względem wybranego poziomu

3

Obliczyć energię potencjalną sprężystości Esp = ½kx2

dla sprężyny ugiętej o x

4

Zastosować twierdzenie o pracy W = ΔEk

do wyznaczenia prędkości lub siły

5

Zsumować energię mechaniczną Em = Ek + Ep

i ocenić jej zmianę

2

Po co Ci to na maturze?

Energia kinetyczna i potencjalna to fundament zasady zachowania energii — najważniejszego narzędzia mechaniki. Bez nich nie możesz rozwiązać zadań ze ślizgawkami, wahadłami, piłkami rzuconymi, sprężynami. Pojawiają się w prawie każdym zadaniu na PP i PR.

Najważniejsza idea

Ek zależy od v2 — podwojenie prędkości zwiększa Ek czterokrotnie! To ma konsekwencje: droga hamowania samochodu rośnie z v2 (nie z v). Egzaminatorzy to lubią.

3

Intuicja zjawiska

Piłka tenisowa lecąca z v = 50 m/s ma masę 57 g — jej Ek = ½·0,057·2500 ≈ 71 J. Ta sama piłka uniesiona na h = 1 m ma Ep = 0,057·9,81·1 ≈ 0,56 J. Ek jest 127× większa — prędkość przechowuje energię dużo efektywniej niż wysokość dla małych mas.

Energia kinetyczna

Ek = ½mv2 [J]. Zawsze ≥ 0. Zależy od v2 — podwoenie v → Ek rośnie 4×. Skalar.

Energia potencjalna grawitacyjna

Ep = mgh [J]. Zależy od wyboru poziomu h = 0. Może być ujemna (h < 0). Skalar.

Energia potencjalna sprężystości

Esp = ½kx2 [J]. Zawsze ≥ 0. x — ugięcie od pozycji równowagi. Rośnie jak x2.

4

Wielkości i jednostki

Energie

Ek, Ep, Esp [J]

wszystkie w dżulach; skalary; addytywne (Em = Ek + Ep + Esp)

Dane do obliczenia

m [kg], v [m/s], h [m], k [N/m], x [m]

zawsze SI przed obliczeniami!

Zapamiętaj

Poziom odniesienia h = 0 jest DOWOLNY — wybierz najwygodniejszy (np. ziemia lub najniższy punkt toru). Ep może być ujemna poniżej poziomu odniesienia.

5

Modele i zasady

Szybka zasada

Energia kinetyczna i praca: WwypW_\text{wyp} = ΔEk = ½mv22 − ½mv12. Gdy wiemy W i m, możemy obliczyć v; gdy wiemy v1 i v2, możemy obliczyć W. Nie potrzeba a ani t.

Szybka zasada

Energia potencjalna grawitacyjna: Ep = mgh. Praca ciężaru przy spadku na h: WGWG = mgh = −ΔEp. Siła zachowawcza: praca zależy tylko od Δh, nie od kształtu toru.

Szybka zasada

Energia sprężystości: Esp = ½kx2. Praca siły sprężyny: WspW_\text{sp} = −ΔEsp = −½kx22 + ½kx12. W chwili max ugięcia: v = 0, cała E zamieniona na Esp.

6

Mapa modelu energii mechanicznej

Figura 1 · Przepływ myślenia

Mapa modelu energii mechanicznej

1

Co to jest energia?

zdolność do pracyE [J]skalar
2

Energia kinetyczna

Ek = ½mv2zależy od v2zawsze ≥ 0
3

Ep grawitacyjna

Ep = mghh od poziomu odniesieniamoże być < 0
4

Ep sprężysta

Esp = ½kx2zawsze ≥ 0Hooke → sprężyna
5

Twierdzenie o pracy

WwypW_{\text{wyp}} = ΔEkW > 0 → Ek rośnieW < 0 → Ek maleje
6

Energia mechaniczna

Em = Ek + Epbez tarcia: constz tarciem: maleje
7

Wykres E(h) lub E(t)

Ek+Ep = const (ZZE)Ek ↑ gdy Ep ↓sinusoida MHO
8

Weryfikacja

E w [J]Ek ≥ 0Ep może być < 0 (grawitacja)
Przepływ 1→8:12345678
7

Teoria: wzory i interpretacje

Energia kinetyczna:

Ek=12mv2,ΔEk=WwypEk = \frac{1}{2}mv^2, \quad \Delta Ek = W_{wyp}

Energia potencjalna grawitacyjna (nad poziomem h = 0):

Ep=mgh(h > 0 nad poziomem, h < 0 poniz˙ej)Ep = mgh \quad (\text{h > 0 nad poziomem, h < 0 poniżej})

Energia potencjalna sprężystości:

Esp=12kx2(x — ugięcie od roˊwnowagi, zawsze Esp≥0)E_{sp} = \frac{1}{2}kx^2 \quad (x \text{ — ugięcie od równowagi, zawsze } E_{sp} \geq 0)

Energia mechaniczna:

Em=Ek+Ep+EspEm = Ek + Ep + E_{sp}

Bez tarcia: Em=constEm = \text{const} (zasada zachowania energii mechanicznej).

Szybka zasada

Warunek zachowania energii mechanicznej: Em = const tylko wtedy, gdy działają wyłącznie siły zachowawcze (grawitacja, sprężystość) albo praca sił niezachowawczych jest pomijalna. Gdy działa tarcie lub opór powietrza: ΔEm = WsiłW_\text{sił} niezachowawczych (zwykle ΔEm < 0 — energia mechaniczna maleje, zamienia się w ciepło).

Twierdzenie o pracy:

Wwyp=ΔEk  ⟹  v2=v12+2WwypmW_{wyp} = \Delta Ek \implies v2 = \sqrt{v1^2 + \frac{2W_{wyp}}{m}}

SytuacjaEp → EkEk → Ep
Swobodny spadekh↓ → v↑—
Rzut w górę—h↑ → v↓
Sprężyna zwalniającaEsp→Ek—
Ciało ściskające sprężynę—Ek→Esp

Szybka zasada

Graficzne wyznaczenie v: Z ZZE: ½mv2 = mgh → v = √(2gh). Niezależne od masy! Wszelkie ciała swobodnie opadające z tej samej h mają tę samą v (bez oporu powietrza).

Ek = ½mv2

energia kinetyczna

Ep = mgh

grawitacyjna

Esp = ½kx2

sprężystości

Em = Ek + Ep

energia mech.

WwypW_\text{wyp} = ΔEk

tw. o pracy

v = √(2gh)

z ZZE (swob. spadek)

8

Solver energii mechanicznej

Solver · Procedura rozwiązania

Solver energii mechanicznej — krok po kroku

Dane
1

Dane + szukane

m, v, h, k, x — co znasz, co szukasz?

SIv w m/s, h w m
2

Poziom odniesienia h=0

Wybierz — np. ziemia lub najniższy punkt

Ep = mgh od tego poziomumoże być h<0
3

Oblicz Ek

Ek = ½mv2; gdy v=0 → Ek=0

v w m/s!Ek ≥ 0
Model energetyczny
4

Oblicz Ep

Ep = mgh lub Esp = ½kx2

h od poziomu odniesi.x od równow.
5

Em = Ek + Ep

Energia mechaniczna = suma

bez tarcia: constpolicz Em
6

Tw. o pracy: W=ΔEk

Gdy szukasz v lub W z przyspieszenia

WextwypW_ ext{wyp} = Ek2−Ek1szybsze niż F=ma
Wynik
7

Oblicz szukaną

Wyznacz v, h, x z równania energii

Em1 = Em2 (ZZE)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
8

Tarcie? → sprawność

ΔEm = −WexttarciaW_ ext{tarcia} = −fkfk·Δx

η = Empom_{\text{po}}/Emprzedm_{\text{przed}}strata → ciepło
9

Sens fizyczny

Ek ≥ 0? Empom_{\text{po}} ≤ Emprzedm_{\text{przed}}?

energia nie znikav ≥ 0
9

Doświadczenie: wyznaczenie v kulki na podstawie energii

Cel: sprawdzić czy v = √(2gh) dla swobodnie opadającej kulki — porównanie ZZE z bezpośrednim pomiarem v.

Hipoteza: ZZE bez tarcia: ½mv2 = mgh → v = √(2gh); masa nie ma znaczenia.

ZmiennaTypOpis
h — wysokość upuszczenianiezależnaustawiana przez eksperymentatora
v — prędkość tuż przed uderzeniemzależnazmierzona fotokomórką
masa kulkikontrolowananie wpływa na v z ZZE
1

Ustaw fotokomórkę przy podłodze, zmierz h dla 5 różnych wartości

h ∈ [0,2; 1,0] m
2

Upuść kulkę bez nadawania v0 — zmierz v z fotokomórki

powtórz 3 razy na h
3

Oblicz vteoretv_\text{teoret} = √(2gh) dla każdego h

g = 9,81 m/s2
4

Wykreśl v(√h) — sprawdź liniowość (nachylenie = √(2g))

weryfikacja ZZE
5

Porównaj vzmierzonev_\text{zmierzone} i vteoretv_\text{teoret}

odchylenie rzędu kilku % potwierdza ZZE

Wzór:

v=2ghv = \sqrt{2gh}

Szybka zasada

Źródła niepewności: Dokładność pomiaru h (δh ≈ 2 mm), skończona średnica kulki i moment przecięcia wiązki fotokomórki, ustawienie fotokomórki i toru, opory ruchu. W warunkach szkolnych sumują się do rzędu kilku %.

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): Sam pomiar wysokości daje δv/v = ½·δh/h (dla δh = 2 mm, h = 0,5 m to ok. 0,2%), ale to nie wszystko: dochodzą średnica kulki i moment przecięcia wiązki fotokomórki, ustawienie toru oraz opory ruchu. W warunkach szkolnych łączna niepewność wychodzi zwykle rzędu kilku procent, a nie ułamka promila.

Wniosek: vzmierzonev_\text{zmierzone} jest zgodne z vteoretv_\text{teoret} = √(2gh) w granicach niepewności pomiarowej (w warunkach szkolnych zwykle rzędu kilku %, np. vzmierzonev_\text{zmierzone}/vteoretv_\text{teoret} ≈ 1,00 ± 0,02). Odchylenia wynikają głównie z niepewności h, średnicy kulki, ustawienia fotokomórki oraz oporów ruchu.

10

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Kulka m = 0,2 kg spada swobodnie z h = 5,0 m (g = 10 m/s2). Jaka jest jej prędkość tuż przed uderzeniem?

Metoda 1 — ZZE:

Ek=Ep   ⟹   12mv2=mgh   ⟹   v=2gh=2⋅10⋅5,0=10 m/sEk = Ep \ \implies \ \frac{1}{2}mv^2 = mgh \ \implies \ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5{,}0} = 10 \, m/s

Metoda 2 — kinematyka (sprawdzenie):

v2=2gh=2⋅10⋅5,0=100  ⟹  v=10 m/s✓v2 = 2g h = 2 \cdot 10 \cdot 5{,}0 = 100 \implies v = 10 \, m/s \checkmark

Zapamiętaj

Energia mechaniczna pozwala pominąć czas i przyspieszenie — wystarczą h1 i h2 (lub v1 i v2). Znacznie szybsze niż kinematyka gdy kształt toru jest skomplikowany.

11

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Sprężyna (k = 400 N/m) zostaje ściśnięta o x = 0,05 m od położenia równowagi i wyrzuca kulę m = 0,1 kg.

  1. Oblicz EspE_\text{sp} zmagazynowaną w sprężynie.
  2. Oblicz maksymalną prędkość kuli po opuszczeniu sprężyny (EspE_\text{sp} → Ek).
  3. (PR) Na jakiej wysokości kula miałaby prędkość v = 1 m/s (ZZE, zaniedbaj tarcie)?
12

Częste błędy

Ek = mv2 (bez ½)

Nie! Ek = ½mv2. Bez połowy wynik jest dwa razy za duży. Sprawdź jednostki: ½kg·(m/s)2 = J ✓

Ep = mgh tylko nad ziemią

Ep = mgh względem wybranego poziomu h = 0. Poniżej poziomu: Ep < 0. To nie błąd — tylko konwencja.

Podwojenie v → Ek rośnie 2×

Nie! Ek ∝ v2. Podwojenie v → Ek rośnie 4×. Kluczowe dla hamowania: droga rośnie 4× gdy v rośnie 2×.

Esp może być ujemna

Nie! Esp = ½kx2 ≥ 0 zawsze (x jest podnoszone do kwadratu). Ep grawitacyjna może być ujemna, Esp nigdy.

h w obliczeniach w cm

Zawsze SI — h w metrach! Ep = mgh → h w metrach. Inaczej wynik w złych jednostkach.

Em = Ek tylko

Em = Ek + Ep + Esp. Wszystkie postaci energii mechanicznej muszą być wliczone.

13

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

Ek = ½mv2

energia kin.

Ep = mgh

potencjalna graw.

Esp = ½kx2

sprężystości

W = ΔEk

twierdzenie o pracy

v = √(2gh)

z ZZE

Ek ∝ v2

podwójne v → 4×Ek

Zapamiętaj

Trzy pytania: (1) jakie postacie energii? (2) gdzie poziom h=0? (3) tarcie? → czy ZZE ma zastosowanie?

14

Kluczowe pojęcia

Energia kinetyczna

Ek = ½mv2 [J]; zawsze ≥ 0; skalar; zależy od v2 — rośnie szybciej niż v

Energia potencjalna grawitacyjna

Ep = mgh [J]; zależy od wyboru h = 0; może być ujemna; siła zachowawcza

Energia potencjalna sprężystości

Esp = ½kx2 [J]; zawsze ≥ 0; x — ugięcie od równowagi; F = kx

Energia mechaniczna

Em = Ek + Ep (+ Esp); bez tarcia Em = const (ZZE)

Twierdzenie o pracy

WwypW_\text{wyp} = ΔEk; wypadkowa praca = zmiana energii kinetycznej; zastępuje II zasadę Newtona

Siła zachowawcza

siła której praca zależy tylko od punktów końcowych, nie od drogi; grawitacja, sprężyna

15

Sprawdź się i przećwicz

Ek i Ep to cegły budowlane ZZE — sprawdź, czy wzory masz w małym palcu przed zadaniami z energią.

Sprawdzian z lekcji

~15 min

Energia kinetyczna, potencjalna i sprężystości

Zrób sprawdzian

Zbiór zadań z fizyki

krok po kroku

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.

Przejdź do zadań

Matura próbna z fizyki

CKE-style · PR

Energia mechaniczna i twierdzenie o pracy

Wypróbuj maturę próbną

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Energia sprężystościE=12kx2E=\tfrac12 k x^2

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Praca, energia i moc — zadania maturalne
16

Źródła, format CKE i materiały ZPE

Podstawa programowa MEN

MEN 2023 / zakres zgodny

Fizyka ZR, dział III pkt 2 — Energia. Zakres: energia kinetyczna, potencjalna grawitacyjna i sprężystości, twierdzenie o pracy.

Format CKE

matura PP+PR / energia mechaniczna

Typowe zadania: obliczenie v ze ZZE, porównanie Ek przy różnych v, wyznaczenie x ze Esp. Punktacja: 2–3 pkt.

energia kinetycznaenergia potencjalnasprężystośćtwierdzenie o pracyZZEmatura fizyka ZR

Źródła: MEN — podstawa programowa 2023; CKE — informator maturalny PR 2023 i arkusze 2023–2025; ZPE — moduł energii mechanicznej.

W tej lekcji

Postęp:6%
Zbiór zadańkrok po kroku Matura próbnaarkusz
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →