Wartość bezwzględna — definicja i równania

Klasa 1PodstawaOdległość bez znaku

Wartość bezwzględna oznacza odległość liczby od zera, więc nigdy nie jest ujemna. W równaniach typu |coś|=liczba najpierw sprawdzasz prawą stronę, a potem rozbijasz zadanie na dwa przypadki.

⏱ ~25 min

Wartość bezwzględna — definicja i równania

Po co Ci ten temat?

Wartość bezwzględna pojawia się w równaniach, nierównościach, geometrii analitycznej i zadaniach z odległością na osi liczbowej. Najważniejsze: $|x|$ to odległość liczby $x$ od zera — a odległość nie może być ujemna, więc $|x|\ge 0$ .

Najważniejsza idea w prostych słowach

Definicja.

|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0\\ -x, & x<0 \end{cases}

Przykłady: $|5|=5$ , $|-5|=5$ , $|0|=0$ . Wartość bezwzględna „zdejmuje minus", ale to nie jest magiczne kasowanie znaku — to odległość od zera.

Interpretacja geometryczna. $|x-a|$ to odległość liczby $x$ od liczby $a$ . Na przykład $|x-3|=5$ oznacza, że $x$ jest w odległości $5$ od $3$ , czyli

x=3-5=-2 \quad\text{lub}\quad x=3+5=8

Ogólnie: $|x-a|=b$ (dla $b\ge 0$ ) daje dwa punkty w odległości $b$ od $a$ , czyli $x=a-b$ lub $x=a+b$ .

Równanie $|A|=b$ — najpierw sprawdź prawą stronę:

\begin{cases} b<0 & \Rightarrow\ \varnothing\ \text{(brak rozwiązań)}\\ b=0 & \Rightarrow\ A=0\\ b>0 & \Rightarrow\ A=b\ \text{lub}\ A=-b \end{cases}

Infografika

Ile rozwiązań ma |A|=b? Sprawdź prawą stronę

od znaku b zależy liczba przypadków

b < 0

brak rozwiązań — kończysz zadanie

b = 0

jedno równanie: A = 0

b > 0

dwa przypadki: A = b oraz A = −b

Zapisz odpowiedź

zbiór rozwiązań • np. x ∈ {−1 • 4}

Pamiętaj: Zawsze najpierw patrz na prawą stronę. Jeśli jest ujemna, nie ma rozwiązań — nie rozbijaj na przypadki.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Sprawdź prawą stronę $b$ w równaniu $|A|=b$ .
Jeśli $b<0$ → brak rozwiązań (kończysz zadanie).
Jeśli $b=0$ → rozwiąż $A=0$ .
Jeśli $b>0$ → rozbij na dwa równania $A=b$ oraz $A=-b$ i rozwiąż oba.
Zapisz odpowiedź jako zbiór rozwiązań.

Oś liczbowa z |x−3|=5 — punkty x=−2 i x=8 oddalone od 3 o 5, oraz panel |A|=b dla b<0, b=0, b>0 — |x−3|=5 to „odległość x od 3 wynosi 5", więc x=−2 lub x=8. Panel |A|=b: b<0 brak rozwiązań, b=0 jedno, b>0 dwa przypadki A=b lub A=−b.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. Rozwiąż $|2x-3|=5$ . Prawa strona dodatnia → dwa przypadki:

2x-3=5\ \Rightarrow\ x=4, \qquad 2x-3=-5\ \Rightarrow\ x=-1

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 4\}$ . Sprawdzenie: $|2\cdot 4-3|=5$ oraz $|2\cdot(-1)-3|=5$ .

Przykład 2 (brak rozwiązań). $|x+2|=-3$ — prawa strona ujemna, więc $\varnothing$ (wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna).

Przykład 3 (odległość). $|x-4|=7$ — $x$ jest w odległości $7$ od $4$ , więc $x=4-7=-3$ lub $x=4+7=11$ .

Mini-zadanie: rozwiąż $|x+4|=7$ . Odpowiedź: $x+4=7$ lub $x+4=-7$ , czyli $x\in\{-11,\ 3\}$ .

Sprawdź się — mini-check (trzy typy)

Dwa rozwiązania: rozwiąż |2x−1|=7.
Jedno rozwiązanie: rozwiąż |x−5|=0.
Brak rozwiązań: rozwiąż |x+2|=−4.
Odległość: rozwiąż |x−4|=7 i zaznacz wyniki na osi.

Typowe pułapki i błędy

Tylko jeden przypadek. Dla $b>0$ z $|A|=b$ są dwa: $A=b$ oraz $A=-b$ .
Ujemna prawa strona. $|x+1|=-3$ nie ma rozwiązań, bo $|A|\ge 0$ zawsze.
„Usuń minus". $|x-3|$ to odległość $x$ od $3$ , a nie mechaniczne kasowanie znaku.
Pominięcie prawej strony. Od znaku $b$ zależy liczba przypadków — dlatego $b$ sprawdzamy najpierw.
Odpowiedź bez zbioru. Zapisz wynik jako zbiór, np. $x\in\{-1,\ 4\}$ .

Jak to wygląda na maturze?

Na maturze wartość bezwzględna pojawia się jako proste równanie, interpretacja odległości na osi, element nierówności, zadanie z przedziałami albo analiza wykresu funkcji z modułem.

Wskazówka maturalna: najpierw spójrz na prawą stronę. Jeśli jest ujemna, od razu kończysz: brak rozwiązań. Jeśli dodatnia — rozbijasz na dwa przypadki $A=b$ oraz $A=-b$ .