Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.1›Logarytmy — definicja, własności i obliczenia

Logarytmy — definicja, własności i obliczenia

Klasa 1Podstawa + PRLogarytm to wykładnik

Logarytm odpowiada na pytanie: „do której potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę?”. Jeśli pamiętasz definicję logₐb=c ⇔ aᶜ=b, większość prostych zadań da się rozwiązać bez paniki.

⏱ ~29 min

Logarytmy — definicja, własności i obliczenia

Po co Ci ten temat?

Logarytm to pytanie o wykładnik. Zamiast pytać „2 do której potęgi daje 8?", piszemy $\log_2 8=3$ , bo $2$ . Logarytmy wracają przy funkcji logarytmicznej, równaniach wykładniczych, procentach składanych i przekształcaniu wzorów — warto je dobrze zrozumieć już teraz.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Definicja.

\log_a b = c \iff a

Warunki istnienia (zawsze sprawdzaj): podstawa dodatnia i różna od 1, liczba logarytmowana dodatnia.

a>0,\qquad a\neq 1,\qquad b>0

Własności logarytmów (dla $x>0$ , $y>0$ ):

Własność	Wzór
logarytm iloczynu	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
logarytm ilorazu	$\log_a\tfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
logarytm potęgi	$\log_a(x$
logarytm podstawy	$\log_a a=1$
logarytm jedynki	$\log_a 1=0$

Schemat pojęć

Logarytm to pytanie o wykładnik

logₐb = c oznacza aᶜ = b

logₐb = c

pytanie: podstawę a do jakiej potęgi podnieść?

↓

aᶜ = b

odpowiedź to właśnie wykładnik c

↓

log₂8 = 3

bo 2³ = 8

Zapamiętaj: Logarytm i potęga opisują to samo z dwóch stron. Zawsze możesz zamienić logₐb=c na aᶜ=b.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Przetłumacz logarytm na pytanie: „podstawę trzeba podnieść do jakiej potęgi?".
Zamień logarytm na równanie wykładnicze $a$ .
Sprowadź liczby do tej samej podstawy, jeśli się da.
Odczytaj wykładnik $c$ .
Sprawdź warunki: $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ .

Logarytm jako odwrotność potęgowania — 2³=8 ⟺ log₂8=3, drabina potęg 2⁰..2⁴, warunki a>0, a≠1, b>0 oraz wzór zmiany podstawy — Logarytm to pytanie o wykładnik: 2³=8 ⟺ log₂8=3. Drabina potęg 2⁰=1,…,2⁴=16. Warunki istnienia log_a b: a>0, a≠1, b>0. PR: zmiana podstawy log_a b=log_c b / log_c a.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. Oblicz $\log_3 81$ . Zapisujemy $81=3$ , więc

\log_3 81 = 4 \quad (\text{bo } 3

Przykład 2. Oblicz $\log_5\tfrac{1}{25}$ . Zapisujemy $\tfrac{1}{25}=5^{-2}$ , więc

\log_5\tfrac{1}{25} = -2

Mini-zadanie: oblicz $\log_2\tfrac{1}{8}$ . Odpowiedź: $\tfrac{1}{8}=2^{-3}$ , więc $\log_2\tfrac{1}{8}=-3$ .

Przykład 3 (równanie z warunkiem dziedziny). Rozwiąż $\log_2(x-3)=4$ . Najpierw dziedzina — argument logarytmu musi być dodatni: $x-3>0 \Rightarrow x>3$ . Z definicji logarytmu $x-3=2$ , więc $x=19$ . Sprawdzenie dziedziny: $19>3$ ✓. Odpowiedź: $x=19$ .

Rozszerzenie PR — zmiana podstawy logarytmu (LIC.07)

Gdy podstawa i liczba logarytmowana nie są potęgami tej samej liczby, używamy wzoru na zmianę podstawy:

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\qquad a>0,\ a\neq 1,\ b>0,\ c>0,\ c\neq 1

Nową podstawę $c$ dobierasz wygodnie — tak, by liczby stały się potęgami tej samej liczby. Przykład:

\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}

Mini-zadanie PR: $\log_9 27=\dfrac{\log_3 27}{\log_3 9}=\dfrac{3}{2}$ .

Schemat pojęć

Zmiana podstawy logarytmu (LIC.07)

przeliczasz na wygodną nową podstawę c

logₐb

nie liczy się wprost — różne podstawy

↓

(log_c b) / (log_c a)

przeliczasz na podstawę c

↓

log₄8 = (log₂8)/(log₂4) = 3/2

tu wygodne c = 2

Zapamiętaj: Warunki: a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1. Dobierz c tak, by liczby były potęgami tej samej liczby.

Typowe pułapki i błędy

Logarytm to nie dzielenie. $\log_2 8$ to nie $8:2$ , lecz pytanie: $2$ do której potęgi daje $8$ .
Pomijanie warunków. Musi być $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ ; np. $\log_2(-8)$ nie istnieje w $\mathbb{R}$ , a podstawa nie może być równa $1$ .
Błędna „własność sumy". $\log_a(x+y)\neq\log_a x+\log_a y$ — wzór działa dla iloczynu, nie dla sumy.
Mylenie $\log_a 1$ i $\log_a a$ . $\log_a 1=0$ (bo $a$ ), a $\log_a a=1$ (bo $a$ ).
Zmiana podstawy bez warunków. Nowa podstawa też musi spełniać $c>0$ i $c\neq 1$ .

Sprawdź się — mini-check (PP + PR)

PP: oblicz log₂32.
PP: oblicz log₅(1/25).
PP: ile wynosi logₐ1, a ile logₐa?
PP równanie: rozwiąż log₂(x−3)=4 (najpierw dziedzina).
PR (LIC.07): oblicz log₄8 przez zmianę podstawy na 2.
PR (LIC.07): oblicz log₉27.

Jak to wygląda na maturze?

Na poziomie podstawowym logarytmy to zwykle krótkie zadanie rachunkowe albo element większego przykładu: oblicz logarytm z definicji, użyj własności, sprawdź warunki istnienia, rozwiąż proste równanie logarytmiczne. Na rozszerzeniu dochodzi zmiana podstawy (LIC.07).

Strategia maturalna: jeśli widzisz logarytm, od razu przetłumacz go na potęgę ( $\log_a b=c\iff a$ ). A jeśli podstawa i liczba nie są potęgami tej samej liczby — sprawdź, czy pomaga zmiana podstawy.