NexTutor
Dział MAT.2.4›Twierdzenie sinusów i cosinusów — kiedy i jak stosować

Twierdzenie sinusów i cosinusów — kiedy i jak stosować

Klasa 2PodstawaTrójkąt dowolny

Twierdzenie sinusów i cosinusów włączają trygonometrię w dowolnym trójkącie, nie tylko prostokątnym. Najprostsza zasada: twierdzenie sinusów działa na pary bok–kąt naprzeciwko, a twierdzenie cosinusów jest dobre, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.

⏱ ~27 min
Twierdzenie sinusów i cosinusów — kiedy i jak stosować

Po co Ci ten temat?

Do tej pory trygonometria działała głównie w trójkącie prostokątnym, ale w zadaniach trójkąt często nie ma kąta 90∘90^\circ. Wtedy masz dwa narzędzia: twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów — algorytmy do dobierania brakujących boków i kątów w dowolnym trójkącie.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

W trójkącie ABCABC: bok aa leży naprzeciw kąta α\alpha, bok bb naprzeciw β\beta, bok cc naprzeciw γ\gamma. Zawsze zachodzi:

a,b,c>0,α,β,γ∈(0∘,180∘),α+β+γ=180∘a,b,c>0,\qquad \alpha,\beta,\gamma\in(0^\circ,180^\circ),\qquad \alpha+\beta+\gamma=180^\circ
Wizualizacja· Boki i kąty naprzeciwko siebie
Trójkąt ABC z bokami a, b, c i kątami α, β, γ — pary naprzeciwległe a↔α, b↔β, c↔γ oznaczone kolorami
W trójkącie ABC bok a leży naprzeciw kąta α, b naprzeciw β, c naprzeciw γ. Te pary naprzeciwległe są kluczem do twierdzenia sinusów.

Co zauważyć: Zawsze podpisz trójkąt: a↔α, b↔β, c↔γ. Bez tego łatwo pomylić, który bok wstawić do wzoru.

Twierdzenie sinusów:

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

(RR — promień okręgu opisanego). Stosuj, gdy masz parę bok–kąt naprzeciwko i szukasz kolejnej pary.

Twierdzenie cosinusów:

c2=a2+b2−2abcos⁡γorazcos⁡γ=a2+b2−c22abc2=a2+b2-2ab\cos\gamma \qquad\text{oraz}\qquad \cos\gamma=\frac{a2+b2-c2}{2ab}

Stosuj, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi (liczysz trzeci bok) albo trzy boki (liczysz kąt — postać z cos⁡γ\cos\gamma).

Pole trójkąta (dwa boki i kąt między nimi):

P=12 absin⁡γP=\tfrac{1}{2}\,ab\sin\gamma
Sytuacja w zadaniuNarzędzie
bok i kąt naprzeciw niego + drugi kąt lub boktwierdzenie sinusów
dwa boki i kąt między nimitwierdzenie cosinusów
trzy boki, szukasz kątatwierdzenie cosinusów (postać na cos⁡γ\cos\gamma)
trójkąt prostokątnysin⁡/cos⁡/tg⁡\sin/\cos/\operatorname{tg} albo Pitagoras
Wizualizacja· Którego twierdzenia użyć?
Drzewo decyzji — prostokątny? Pitagoras/sin-cos-tg; dwa boki i kąt między nimi? cosinusów; trzy boki? cosinusów do kąta; para bok-kąt naprzeciwko? sinusów
Najpierw wybierz narzędzie, potem podstawiaj. Drzewo: prostokątny → Pitagoras/sin-cos-tg; dwa boki + kąt między → cosinusów; trzy boki → cosinusów do kąta; para bok–kąt naprzeciwko → sinusów.

Co zauważyć: Wybór wzoru PRZED podstawianiem. W twierdzeniu cosinusów kąt musi leżeć MIĘDZY znanymi bokami.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

  1. Zrób rysunek i podpisz boki naprzeciw odpowiednich kątów (a↔αa\leftrightarrow\alpha, b↔βb\leftrightarrow\beta, c↔γc\leftrightarrow\gamma).
  2. Trójkąt prostokątny? Często wystarczy Pitagoras albo sin⁡/cos⁡/tg⁡\sin/\cos/\operatorname{tg}.
  3. Masz parę bok–kąt naprzeciwko → twierdzenie sinusów.
  4. Masz dwa boki i kąt między nimi (lub trzy boki) → twierdzenie cosinusów.
  5. Podstaw ostrożnie — najwięcej błędów bierze się z tego, który kąt leży „między bokami".
  6. Rozwiąż równanie; przy sinusach pamiętaj, że sin⁡x=sin⁡(180∘−x)\sin x=\sin(180^\circ-x).
  7. Sprawdź sens: większemu kątowi odpowiada dłuższy bok.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (cosinusów — dwa boki i kąt między nimi). Dane a=6 , b=8 , \gamma=60^\circ (kąt między a i b ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Sinusy bez pary bok–kąt naprzeciwko. Najpierw znajdź parę (a,\alpha) , (b,\beta) lub (c,\gamma) — twierdzenie sinusów działa na parach naprzeciwległych.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na maturze najczęściej trzeba dobrać właściwe twierdzenie, a nie tylko podstawić do wzoru: jest trójkąt bez kąta prostego, podane np. dwa boki i kąt między nimi, a trzeba obliczyć trzeci bok, pole ( P=\tfrac12 ab\sin\gamma ) albo sprawdzić warunek.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Twierdzenie sinusów

Zależność a/sin α = b/sin β = c/sin γ, łącząca boki trójkąta z kątami naprzeciwko nich

Twierdzenie cosinusów

Wzór pozwalający obliczyć bok z dwóch boków i kąta między nimi: c²=a²+b²−2ab cos γ

Para bok–kąt

Bok i kąt leżący naprzeciwko niego, np. bok a i kąt α

Kąt między bokami

Kąt utworzony przez dwa dane boki; to właśnie jego używa się w twierdzeniu cosinusów

Trójkąt nieprostokątny

Trójkąt, w którym nie można od razu użyć definicji sin/cos/tg z trójkąta prostokątnego

Materiały ZPE

4 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Twierdzenie sinusówasin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2RTwierdzenie cosinusówc2=a2+b2−2abcos⁡γc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Twierdzenie sinusów i cosinusów — zadania z trójkątami
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →