Równanie prostej — postaci i wzajemne położenie prostych

Używasz trzech postaci prostej:

W postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ współczynniki $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie zerem ($A2+B2\neq0$) — inaczej nie opisuje prostej. Przejście z ogólnej na kierunkową: wyznaczasz $y$, gdy $B\neq0$; gdy $B=0$, prosta jest pionowa ($x=-\tfrac{C}{A}$) i nie ma postaci $y=ax+b$.

Wizualizacja· Trzy postaci równania prostej

Co zauważyć: Kierunkowa do nachylenia, ogólna do odległości, „przez punkt" gdy masz punkt i kierunek.

Współczynnik $a$ mówi, jak prosta jest nachylona. Z dwóch punktów:

$$a=\frac{y$$₂-y₁}{x₂-x₁}\qquad(\text{warunek: } x₁\neq x₂)

Dla dwóch prostych $y=a$_1x+b₁ i $y=a$_2x+b₂:

• równoległe różne, gdy $a$₁=a₂ i $b$₁\neq b₂,
• ta sama prosta, gdy $a$₁=a₂ i $b$₁=b₂,
• prostopadłe, gdy $a$₁\cdot a₂=-1, czyli $a$₂=-\dfrac{1}{a₁},
• przecinają się, gdy $a$₁\neq a₂.

Wizualizacja· Równoległe czy prostopadłe?

Co zauważyć: Prostopadłe: a₂ to PRZECIWNA ODWROTNOŚĆ a₁ (nie samo −a₁).

Wyjątek — prosta pionowa. Jeśli $x$₁=x₂, prosta ma postać $x=c$ i nie da się jej zapisać jako $y=ax+b$ (liczenie $a$ dałoby dzielenie przez zero). Zanim policzysz $a$, sprawdź, czy $x$₁\neq x₂.

Wizualizacja· Prosta pionowa — wyjątek od y=ax+b

Co zauważyć: x₁=x₂ → prosta to x=c; nie próbuj wzoru y=ax+b.