Całka oznaczona — twierdzenie Newtona-Leibniza

Klasa 4Materiał dodatkowyCałka oznaczona

Całka oznaczona daje liczbę, a nie rodzinę funkcji: liczysz funkcję pierwotną i podstawiasz górną oraz dolną granicę. Najważniejszy schemat to ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a).

⏱ ~30 min

Całka oznaczona — twierdzenie Newtona-Leibniza

Po co Ci ten temat?

Całka oznaczona liczy pole, skumulowaną zmianę i wielkości będące sumą małych kawałków. To naturalna kontynuacja całki nieoznaczonej.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Całka nieoznaczona daje funkcję ( $F(x)+C$ ); całka oznaczona daje liczbę. Twierdzenie Newtona–Leibniza:

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad \text{gdzie } F'(x)=f(x)

Trzy kroki: znajdź funkcję pierwotną → podstaw górną granicę → odejmij wartość dla dolnej. Stała $C$ znika:

\big[F(b)+C\big]-\big[F(a)+C\big]=F(b)-F(a)

📘 Definicja. $\int_a^b f(x)\,dx$ to wartość skumulowana (pole zorientowane) — różnica wartości funkcji pierwotnej na końcach przedziału, a nie zawsze pole geometryczne.

Warunki tw. Newtona–Leibniza: $f$ musi być ciągła na $[a,b]$ , a $F$ — funkcją pierwotną $f$ ( $F'(x)=f(x)$ ). Wtedy $\int_a^b f\,dx=F(b)-F(a)$ .

	nieoznaczona	oznaczona
zapis	$\int f(x)\,dx$	$\int_a^b f(x)\,dx$
wynik	funkcja $F(x)+C$	liczba $F(b)-F(a)$
stała $C$	zostaje	znika

Wykres funkcji y=f(x) na przedziale [a,b] przecinający oś OX w punkcie c. Część nad osią (od a do c) zacieniona na zielono z plusem jako wkład dodatni, część pod osią (od c do b) zacieniona na czerwono z minusem jako wkład ujemny. Pod spodem wzór całki oznaczonej równej F(b)−F(a) oraz rozróżnienie: całka to pole zorientowane, pole geometryczne to suma pól dodatnich. — Całka oznaczona to F(b)−F(a): fragment nad osią OX liczy się dodatnio, pod osią — ujemnie. Dlatego całka oznaczona to pole zorientowane, a pole geometryczne (zawsze dodatnie) wymaga rozbicia w miejscach zerowych.

⚠️ Trzy ostrzeżenia

Kolejność: $\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$ — górna minus dolna, nie odwrotnie.
Bez $+C$ w wyniku — całka oznaczona to liczba.
Całka $\neq$ zawsze pole. Wynik może być ujemny. Pole pod wykresem równa się całce tylko gdy funkcja na przedziale nie schodzi poniżej osi $OX$ .

Dwie własności granic. Zamiana granic zmienia znak: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$ . A gdy granice są równe, całka wynosi zero: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0$ (niezależnie od wzoru $f$ — przedział ma zerową długość).

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. \displaystyle\int 1^3 (2x+1)\,dx .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Tylko F(b) . Trzeba F(b)-F(a) — dolna granica też ma znaczenie.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Całka oznaczona (w pełnym kursie analizy) bywa środkiem do celu: pole figury, parametr, porównanie pól. Najważniejszy odruch: \int a^b f\,dx=F(b)-F(a) , a przy polu sprawdź położenie wykresu względem osi OX .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość