Graniastosłupy i ostrosłupy — objętości, pola, kąty
W stereometrii najpierw rozpoznaj bryłę i narysuj przekrój albo trójkąt pomocniczy. Większość zadań maturalnych sprowadza się do jednego schematu: dobierz wzór na objętość/pole, znajdź brakującą wysokość lub kąt z Pitagorasa/trygonometrii, a dopiero potem podstawiaj liczby.
Słownictwo
Co CKE najczęściej sprawdza?
W zadaniach o graniastosłupach i ostrosłupach CKE rzadko pyta o czyste podstawienie — najczęściej trzeba wydobyć z bryły ukryty trójkąt prostokątny.
Pytania w głowie: jaka bryła? co jest podstawą? czy znam wysokość bryły , wysokość ściany bocznej , krawędź boczną czy kąt? jaki trójkąt powstaje w przekroju?
| Bryła | Objętość | Pole całkowite |
|---|---|---|
| graniastosłup | ||
| ostrosłup |
Poziom: matura podstawowa (objętość/pole); kąty i przekroje to PR.
Wysokość bryły ≠ wysokość ściany bocznej
(wysokość bryły) jest prostopadła do podstawy. (wysokość ściany bocznej, apotema) prowadzi od wierzchołka do środka boku podstawy. To różne odcinki — najpierw narysuj przekrój.
Kiedy ? Graniastosłup: . Ostrosłup: — jedna trzecia objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Co zauważyć: Najpierw przekrój i trójkąt prostokątny, dopiero potem wzór na objętość lub pole.
Schemat rozwiązania zadania
Jak rozwiązać zadanie z bryłą
Narysuj bryłę większą niż zwykle
zaznacz podstawę i wysokość H
Rozpoznaj długości
to H • l (apotema) czy krawędź boczna?
Narysuj przekrój
trójkąt prostokątny: apotema • połowa boku • H
Policz brakującą długość
Pitagoras albo trygonometria
Wybierz wzór
graniastosłup V=P_p·H; ostrosłup V=⅓·P_p·H
Sprawdź jednostkę
pole cm² • objętość cm³
Przykład
Przykład 1 — objętość ostrosłupa
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: bok podstawy a=6 , wysokość ściany bocznej l=5 . Od środka kwadratu do środka boku jest \dfrac{a}{2}=3 .
Przykład
Przykład 2 — objętość graniastosłupa
Pole podstawy P p=24 , wysokość H=7 : V=P p\cdot H=24\cdot7=168
Przykład
Przykład 3 — pole całkowite ostrosłupa
Ten sam ostrosłup ( a=6 , l=5 ).
Przykład
Przykład 4 — graniastosłup (wysokość z przekątnej ściany)
Graniastosłup prawidłowy czworokątny: krawędź podstawy 6 , przekątna ściany bocznej 10 . Ściana boczna to prostokąt o bokach 6 i H , więc z jej przekątnej: H^2+6^2=10^2 \Rightarrow H^2=64 \Rightarrow H=8 P p=6^2=36,\qquad V=P p\cdot H=36\cdot8=288 ⚠️ Jedno…
Przykład
Typowe błędy, za które tracisz punkty
- Wysokość ściany jako wysokość bryły. To różne odcinki — narysuj przekrój i policz H .
Jak to wygląda na maturze?
Klucz: rozpoznaj bryłę, odróżnij H od l , wyznacz brakującą długość z przekroju (Pitagoras/trygonometria), dopiero potem wzór na V lub P c — z właściwą jednostką.
Kluczowe pojęcia
Graniastosłup
Bryła z dwiema równoległymi, przystającymi podstawami i ścianami bocznymi w postaci równoległoboków lub prostokątów
Ostrosłup
Bryła z jedną podstawą i ścianami bocznymi będącymi trójkątami schodzącymi się w jednym wierzchołku
Wysokość bryły
Odcinek prostopadły do podstawy, potrzebny przede wszystkim do obliczania objętości
Wysokość ściany bocznej
Wysokość trójkątnej ściany ostrosłupa; nie zawsze jest wysokością całej bryły
Przekrój
Figura powstała po przecięciu bryły płaszczyzną; często ujawnia trójkąt potrzebny do obliczeń
Pole podstawy
Pole figury leżącej w podstawie bryły, np. kwadratu, trójkąta albo sześciokąta
Materiały ZPE
3 materiałyWzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Materiał z klas 1–4
Lekcje klasowe z tym materiałem
W tej lekcji
- 1Co CKE najczęściej sprawdza?
- 2Wysokość bryły ≠ wysokość ściany bocznej
- 3Schemat rozwiązania zadania
- 4Przykład 1 — objętość ostrosłupa
- 5Przykład 2 — objętość graniastosłupa
- 6Przykład 3 — pole całkowite ostrosłupa
- 7Przykład 4 — graniastosłup (wysokość z przekątnej ściany)
- 8Typowe błędy, za które tracisz punkty
- 9Jak to wygląda na maturze?
- Kluczowe pojęcia
- Materiały ZPE