Prawdopodobieństwo — klasyczne, warunkowe, niezależność

Klasa maturalnaMatura PPWarunek zmienia mianownikRozłączne ≠ niezależne

Prawdopodobieństwo to nie zgadywanie, tylko liczenie korzystnych przypadków wobec wszystkich możliwych. Najczęstszy błąd polega na tym, że uczeń liczy tylko licznik, a zapomina jasno określić przestrzeń zdarzeń.

⏱ ~36 min

Prawdopodobieństwo — klasyczne, warunkowe, niezależność

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE sprawdza trzy rzeczy: policzenie wszystkich wyników, policzenie wyników sprzyjających, oraz rozumienie, kiedy prawdopodobieństwo zmienia się po dodatkowej informacji.

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\ P(B)>0

A,B \text{ niezależne} \iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \iff P(A\mid B)=P(A)

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A\mid B)$ ma sens tylko dla $P(B)>0$ — nie warunkujemy względem zdarzenia niemożliwego.

Sytuacja	Co robisz?
rzut kostką, jedna karta	przypadki korzystne i wszystkie
losowanie bez zwracania	po pierwszym losowaniu zmienia się liczba elementów
zdarzenia niezależne	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
warunkowe	ograniczasz świat do przypadków spełniających warunek

Poziom: klasyczna definicja to PP; warunkowe, niezależność i drzewa to PR bridge.

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak policzyć prawdopodobieństwo

Nazwij zdarzenie A

opisz dokładnie • co ma zajść

Ustal przestrzeń Ω

wszystkie wyniki albo tylko po warunku

Policz mianownik

liczba wszystkich wyników; bez niego nie ma P

Policz licznik

liczba wyników sprzyjających A (kombinatoryka)

Jest warunek?

zmień przestrzeń na B; dziel przez liczbę B

Sprawdź zakres

0 ≤ P ≤ 1; wynik większy od 1 to błąd

Diagram Venna — przestrzeń Ω ze zdarzeniami A i B oraz przecięciem A∩B, a obok wersja po warunku B, gdzie mianownikiem jest tylko B, a licznikiem A∩B — W prawdopodobieństwie warunkowym P(A|B) nie patrzysz już na całe Ω — nową przestrzenią jest B. Licznik to A∩B, mianownik to B. Najczęstszy błąd: dzielenie przez |Ω| zamiast przez |B|.

Przykład

Przykład 1 — klasyczne (kule)

$4$ kule czerwone, $6$ niebieskich. Losujemy $2$ jednocześnie. $P$ (obie czerwone)?

|\Omega|=\binom{10}{2}=45,\qquad |A|=\binom{4}{2}=6,\qquad P(A)=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}

Przykład

Przykład 2 — warunkowe (warunek zmienia mianownik)

Klasa 30 osób: 18 dziewczyn, 12 na kole matematycznym, 8 dziewczyn na kole. Losujemy osobę.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — niezależność (moneta i kostka)

A : orzeł; B : parzysta na kostce.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — losowanie bez zwracania (zdarzenia zależne)

W pudełku 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy 2 bez zwracania .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Słownictwo

Rozłączne ≠ niezależne

Rozłączne Niezależne --- --- A\cap B=\varnothing P(A\cap B)=P(A)P(B) nie mogą zajść razem jedno nie wpływa na drugie zwykle zależne mogą się przecinać ⚠️ Rozłączne ≠ niezależne. Zdarzenia rozłączne o dodatnim prawdopodobieństwie są zależne : skoro jedno wy…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Tylko przypadki korzystne. Prawdopodobieństwo to stosunek \tfrac{ A }{ \Omega } — potrzebny mianownik.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: policz \Omega i A (często kombinatoryką), przy warunku zmień mianownik na B , niezależność sprawdź wzorem P(A\cap B)=P(A)P(B) , a wynik zawsze w przedziale [0,1] .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość