Funkcja wymierna — dziedzina, asymptoty, wykres

Klasa maturalnaMatura PPAsymptoty i hiperbola

W funkcji wymiernej najpierw pilnujesz dziedziny, bo mianownik nie może być zerem. Potem patrzysz na asymptoty i przesunięcia wykresu — to zwykle daje większość punktów jeszcze zanim zaczniesz liczyć.

⏱ ~28 min

Funkcja wymierna — dziedzina, asymptoty, wykres

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W zadaniach z funkcji wymiernej rzadko chodzi o długie rachunki — częściej o szybkie rozpoznanie dziedziny, asymptot i kształtu wykresu. Najprostszy model to $f(x)=\dfrac{k}{x}$ , a w zadaniach zwykle jego przesunięta wersja:

f(x)=\frac{a}{x-p}+q,\qquad a\neq0

Element	Jak odczytać?
dziedzina	$x\neq p$ , czyli $D$
zbiór wartości	$Z$
asymptota pionowa	$x=p$
asymptota pozioma	$y=q$
kierunek gałęzi	zależy od znaku $a$

Poziom: matura podstawowa (rozpoznanie wykresu i dziedziny) + PR bridge (pełna homografia, równania/nierówności wymierne). Uwaga: model dotyczy $\dfrac{a}{x-p}+q$ , a nie każdej $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (tam mogą dojść skrócenia, „dziury" i inne asymptoty).

Schemat rozwiązania zadania

Mianownik: $x-p\neq0$ → dziedzina $x\neq p$ .
Asymptoty: $x=p$ (pionowa), $y=q$ (pozioma).
Znak $a$ : $a>0$ gałęzie jak $\dfrac{1}{x}$ , $a<0$ jak $-\dfrac{1}{x}$ — względem środka $(p,q)$ .
Policz 2–3 punkty pomocnicze po obu stronach asymptoty pionowej.
Asymptoty rysuj przerywaną linią; wykres się do nich zbliża, ale ich nie przecina.

Wykres f(x)=2/(x-3)+1 — dwie gałęzie hiperboli, asymptota pionowa x=3, pozioma y=1, środek (3,1), punkty pomocnicze (4,3) i (2,-1) — Czytaj a/(x−p)+q od środka (p,q): asymptota pionowa x=p, pozioma y=q, D=ℝ\{p}, Z=ℝ\{q}. Znak a układa gałęzie (a>0 jak 1/x). Wykres zbliża się do asymptot, ale ich nie przecina.

Przykład

Przykład 1 — $a>0$

$f(x)=\dfrac{2}{x-3}+1$ . Tu $p=3$ , $q=1$ , $a=2>0$ .

D

Punkty pomocnicze: $f(4)=3$ , $f(5)=2$ , $f(2)=-1$ . Dwie gałęzie wokół środka $(3,1)$ .

Przykład

Przykład 2 — $a<0$

g(x)=\dfrac{-2}{x+1}+3 . Uwaga: x+1=x-(-1) , więc p=-1 , q=3 , a=-2<0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — zadanie odwrotne (z asymptot do wzoru)

Dane: asymptota pionowa x=4 , pozioma y=-2 , gałęzie jak \tfrac1x (czyli a 0 ). Podaj przykładową funkcję.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Brak dziedziny. Najpierw x-p\neq0 — mianownik nie może być zerem.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Czytaj \dfrac{a}{x-p}+q „od środka": p i q dają asymptoty i wykluczenia, znak a — układ gałęzi. Pilnuj dziedziny i tego, że asymptoty to linie pomocnicze, nie część wykresu.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość