NexTutor
Dział FIZ.1.1›Ruch po okręgu — prędkość kątowa i przyspieszenie dośrodkowe
FIZ.1.1.4

Ruch po okręgu — prędkość kątowa i przyspieszenie dośrodkowe

ω, v, an i siła dośrodkowa krok po kroku

ruch po okręguprędkość kątowaprzyspieszenie dośrodkowesiła dośrodkowaokresczęstotliwośćmatura fizyka ZR⏱ ~55 min
⏱ ~55 min
Ruch po okręgu — prędkość kątowa i przyspieszenie dośrodkowe
1

Po tej lekcji będziesz umieć

1

Opisać ruch po okręgu za pomocą ω, v, T i f

i przeliczać między nimi

2

Obliczyć przyspieszenie dośrodkowe

an = v2/r = ω2r (zawsze ku środkowi)

3

Wyznaczyć siłę dośrodkową i wskazać jej źródło fizyczne

grawitacja, napięcie, tarcie

4

Stosować wzory do zadań CKE

z obrotami na minutę, satelitami, zakrętami

5

Narysować diagram sił dla ciała na okręgu

i wskazać kierunek an

2

Po co Ci to na maturze?

Ruch po okręgu pojawia się w zadaniach z satelitami, planetami, łukami drogi, wirówkami i ruchem obrotowym. Na PR obowiązkowe jest wskazanie źródła siły dośrodkowej (tarcie przy zakręcie, grawitacja dla satelity, napięcie sznurka).

Najważniejsza idea

Siła dośrodkowa to NIE jest osobna siła — to rola, którą pełni inna siła: grawitacja dla satelity, tarcie dla auta na zakręcie, napięcie sznurka dla kamienia na lince.

3

Intuicja zjawiska

Kamień na sznurku kręcony nad głową: prędkość ma stały moduł, ale zmienia kierunek — to znaczy, że jest przyspieszenie! Skierowane do środka. Zatrzymaj sznurek — kamień leci po prostej. Siła (napięcie) jest tym, co utrzymuje tor kołowy.

Prędkość kątowa ω

ω = Δφ/Δt [rad/s]. Mówi jak szybko zmienia się kąt. Pełny obrót to 2π rad w czasie T sekund.

Prędkość liniowa v

v = ω·r [m/s]. Styczna do okręgu — każdy punkt na tym samym r ma to samo ω, ale różne v!

Przyspieszenie dośrodkowe

an = v2/r = ω2r [m/s2]. Zawsze skierowane ku środkowi — zmienia kierunek v, nie moduł.

4

Wielkości i jednostki

Kinematyka obrotowa

φ [rad], ω [rad/s], T [s], f [Hz], n [obr/min]

T = 2π/ω; f = 1/T; ω = 2πf = 2πn/60

Dynamika obrotowa

r [m], v [m/s], an [m/s2], F [N], m [kg]

v = ωr; an = v2/r = ω2r; F = man

Zapamiętaj

Przeliczenie: n [obr/min] → ω [rad/s]: ω = 2πn/60. Np. 3000 obr/min → ω = 2π·3000/60 = 100π ≈ 314 rad/s.

5

Modele i zasady

Szybka zasada

Związek między v, ω i r: W ciele sztywnym wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową ω, ale różne prędkości liniowe v = ω·r (rosnące z promieniem r). Dlatego końcówka wirnika śmigłowca (duże r) ma większą v niż środek.

Szybka zasada

Przyspieszenie dośrodkowe: an = v2/r = ω2r. Nigdy nie jest styczne do toru — zawsze wskazuje ku środkowi okręgu. Jeśli ciało nie "ucieka" ze środka, to siła = man działa ku środkowi.

Szybka zasada

Siła dośrodkowa: F = man = mv2/r = mω2r. Siłą jest coś realnego: grawitacja (satelita, planeta), napięcie liny (kamień na sznurku), tarcie (auto na zakręcie), reakcja toru (kolejka).

6

Mapa modelu ruchu po okręgu

Mapa modelu ruchu po okręgu: od położenia kątowego φ i prędkości kątowej ω, przez prędkość liniową v = ωr styczną do toru, przyspieszenie dośrodkowe ku środkowi, okres i częstotliwość, po siłę dośrodkową i jej źródło (tarcie, grawitacja, napięcie)Otwórz figurę w nowej karcie ⤢

7

Teoria: wyprowadzenie i wzory

Prędkość kątowa z definicji:

ω=ΔφΔt,[ω]=rads\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}, \quad [\omega] = \frac{rad}{s}

Związek z prędkością liniową (łuk = promień × kąt):

Δs=r⋅Δφ  ⟹  v=ΔsΔt=r⋅ΔφΔt=ωr\Delta s = r \cdot \Delta \varphi \implies v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = r \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \omega r

Okres i częstotliwość (jeden pełny obrót Δφ = 2π):

T=2πω,f=1T=ω2πT = \frac{2\pi}{\omega}, \quad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}

Przyspieszenie dośrodkowe (wyprowadzenie z podobieństwa trójkątów prędkości):

an=v2r=ω2ran = \frac{v2}{r} = \omega^2 r

Siła dośrodkowa (II zasada Newtona):

F=man=mv2r=mω2rF = ma_n = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r

Szybka zasada

Kierunek aₙ: an zawsze wskazuje ku środkowi okręgu — jest prostopadłe do v (styczne). W punkcie najwyższym toru: an skierowane w dół. W punkcie najniższym: an skierowane w górę.

ω = 2π/T = 2πf

prędkość kątowa

v = ωr

prędkość liniowa

an = v2/r = ω2r

przyspieszenie dośrodkowe

F = mv2/r

siła dośrodkowa

T = 2πr/v

okres z v i r

n [obr/min] → ω = 2πn/60

przeliczenie

8

Ruch niejednostajny po okręgu

Szybka zasada

Dwie składowe przyspieszenia: Gdy zmienia się także WARTOŚĆ prędkości (nie tylko kierunek), przyspieszenie ma dwie prostopadłe składowe: dośrodkową an=v2/ran = v2/r (zmiana kierunku) i styczną at=Δv/Δtat = \Delta v/\Delta t (zmiana wartości).

Szybka zasada

Przyspieszenie całkowite: Składowe są prostopadłe, więc a=an2+at2a = \sqrt{an^2 + at^2}. Wektor a nie wskazuje już dokładnie ku środkowi — jest odchylony w stronę ruchu (przyspieszanie) lub przeciwnie (hamowanie).

Najważniejsza idea

Przyspieszenie kątowe: Zmianę prędkości kątowej opisuje ε=Δω/Δt\varepsilon = \Delta\omega/\Delta t [rad/s2]. Wiąże się ze styczną: at=εrat = \varepsilon r. W ruchu jednostajnym ε=0\varepsilon = 0 i at=0at = 0 — zostaje samo anan.

Uwaga

Uwaga: W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie NIE jest zerowe — równa się anan (kierunek prędkości ciągle się zmienia). Dopiero ruch niejednostajny dokłada składową styczną atat.

9

Solver ruchu po okręgu

Solver · Procedura rozwiązania

Solver ruchu po okręgu — krok po kroku

Dane
1

Dane wejściowe

r, v, ω, T, f, n [obr/min]?

jednostki!SI
2

Przelicz jednostki

n → ω = 2πn/60; T → f = 1/T

rad/sHz
3

Szukane

an? F? v? T? Oznacz!

jeden wynikdiagram sił
Model
4

ω i T

ω = 2π/T = 2πf; T = 2πr/v

wzór z 2 danychpowiąż
5

v liniowa

v = ωr; v = 2πr/T

styczna!nie do środka
6

an dośrodkowe

an = v2/r = ω2r; ← do środka

zawsze do środkanie styczna
Obliczenia
7

Oblicz wynik

Wstaw liczby, sprawdź SI

kolejność wzorówSI!
8

Siła dośrodkowa

F = man; identyfikuj, co pełni rolę F

grawitacjatarcienapięcie
9

Sprawdź sens

an > 0, F → środek, rząd m/s2?

an = v2/r = ω2rg = 9,81 m/s2
10

Doświadczenie: wyznaczenie siły dośrodkowej dla wirującej masy

Cel: sprawdzić zależność F = mω2r przez pomiar siły przy różnych ω i r.

Hipoteza: dla m = const i r = const siła rośnie proporcjonalnie do ω2 — wykres F(ω2) powinien być prostą przez 0.

ZmiennaTypOpis
ω — prędkość kątowaniezależnaustawiana przez prędkość silnika
r — promień obrotukontrolowanastały (niezmienny zacisk)
F — siła na siłomierzuzależnaodczyt z czujnika w osi sznurka
1

Zamocuj masę m = 0,1 kg na sznurku (r = 0,3 m), podłącz siłomierz

wyzeruj przy braku obrotu
2

Uruchom obroty; zmierz ω tachometrem dla 5 różnych wartości (albo z okresu: zmierz czas kilkunastu obrotów i podziel przez ich liczbę — mniejsza niepewność T)

ω ∈ [2; 10] rad/s
3

Odczytaj F z siłomierza dla każdego ω

poczekaj na stabilizację
4

Wykreśl F vs ω2 — sprawdź czy prosta przez 0

nachylenie = m·r
5

Wyznacz m·r z nachylenia i porównaj z bezpośrednim pomiarem m i r

sprawdzenie spójności

Wzór na siłę dośrodkową:

F=mω2rF = m \omega^2 r

Szybka zasada

Źródła niepewności: Dokładność tachometru (δω ≈ 2%), drgania sznurka (rozrzut F), tarcie w osi obrotu, nieidealne kołowe tory.

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δF = δm + 2δω + δr. Dominuje 2δω — błąd pomiaru ω jest podwójnie amplifikowany przez ω2.

Wniosek: Zmierzone F = mω2r (nachylenie wykresu F(ω2) = m·r) zgadza się z obliczonym m·r w granicach 3%. Potwierdza zależność F ∝ ω2.

11

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Auto o masie 1200 kg jedzie po zakręcie o r = 80 m z v = 72 km/h. Czy poślizg nastąpi, jeśli μ = 0,6 (g = 10 m/s2)?

1. Konwersja prędkości:

v=72 kmh=20 m/sv = 72 \, \frac{km}{h} = 20 \, m/s

2. Potrzebna siła dośrodkowa:

F=mv2r=1200⋅40080=6000 NF = \frac{mv^2}{r} = \frac{1200 \cdot 400}{80} = 6000 \, N

3. Maksymalna siła tarcia:

Ftar=μmg=0,6⋅1200⋅10=7200 NF_{tar} = \mu m g = 0{,}6 \cdot 1200 \cdot 10 = 7200 \, N

4. Ocena: Ftar=7200 N>F=6000 NF_{tar} = 7200 \, N > F = 6000 \, N — brak poślizgu ✓

Zapamiętaj

Rola tarcia: przy zakręcie tarcie statyczne PEŁNI rolę siły dośrodkowej. Poślizg gdy FpotrzebnaF_\text{potrzebna} > μmg. Zmniejsz v lub zwiększ r, by zmniejszyć F.

12

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Satelita krąży na wysokości h = 400 km nad Ziemią (RZRZ = 6400 km, ghgh ≈ 8,7 m/s2).

  1. Oblicz prędkość satelity v.
  2. Oblicz okres obiegu T.
  3. (PR) Jaka siła pełni rolę siły dośrodkowej? Ile wynosi ta siła dla satelity m = 500 kg?
13

Częste błędy

Siła odśrodkowa to realna siła

Siła odśrodkowa to siła pozorna (w nieinercjalnym układzie). W układzie inercjalnym istnieje TYLKO siła dośrodkowa ku środkowi.

an jest styczne do okręgu

Nie! an jest radialnie (prostopadle do v), skierowane ku środkowi. Styczna byłoby przyspieszenie zmian v.

v = const więc a = 0

Nie! |v| = const, ale kierunek v się zmienia — to znaczy, że a ≠ 0. Zmiana kierunku = przyspieszenie.

ω jest takie samo dla całego ciała

TAK — ω jest jednakowe dla każdego punktu ciała sztywnego. Ale v = ωr rośnie z r.

T = 2πr to okres

Nie! 2πr to obwód toru — droga w jednym pełnym obrocie (w metrach). Okres [s]: T = 2π/ω = 1/f; jeśli znasz v, to T = 2πr/v.

Siła dośrodkowa = mv2/r to osobna siła

Nie jest "nową" siłą — to rola innej siły. Na zakręcie: tarcie. Dla planety: grawitacja.

14

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

ω = 2π/T

prędkość kątowa

v = ωr

prędkość liniowa

an = v2/r = ω2r

dośrodkowe

F = mv2/r

siła dośrodkowa

n→ω = 2πn/60

przeliczenie

T = 1/f

okres i częstotliwość

Zapamiętaj

Siła dośrodkowa to rola (grawitacja, napięcie, tarcie) — nie dodatkowa siła. Zawsze ku środkowi, zawsze prostopadle do v.

15

Kluczowe pojęcia

Prędkość kątowa

ω = Δφ/Δt [rad/s]; miara szybkości zmian kąta; jednakowa dla całego ciała sztywnego

Prędkość liniowa

v = ωr [m/s]; styczna do okręgu; rośnie proporcjonalnie z odległością od osi

Przyspieszenie dośrodkowe

an = v2/r = ω2r; skierowane ku środkowi okręgu; odpowiedzialne za zmianę kierunku v

Siła dośrodkowa

F = man; rola pełniona przez grawitację, napięcie, tarcie lub reakcję — nie osobna siła

Okres T

czas jednego pełnego obrotu [s]; T = 2πr/v = 2π/ω = 1/f

Częstotliwość f

liczba obrotów na sekundę [Hz]; f = 1/T; 1 Hz = 1 obrót/s

16

Sprawdź się i przećwicz

Ruch po okręgu to fundament: satelity, planety, zakręty — sprawdź, czy wzory masz opanowane.

Sprawdzian z lekcji

~15 min

Ruch okrężny — ω, v, an i siły

Zrób sprawdzian

Zbiór zadań z fizyki

krok po kroku

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku — przećwicz fizykę.

Przejdź do zadań

Matura próbna z fizyki

PR

Siła dośrodkowa i jej źródła — CKE-style

Wypróbuj maturę próbną

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Prędkość kątowaω=2πT=2πf\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi fPrędkość liniowa w ruchu po okręguv=ωrv=\omega rSiła dośrodkowaFd=mv2r=mω2rF_d=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2 r

Powtórka do matury

Ten temat na maturze

Kinematyka maturalna — opis ruchu i wykresy
17

Źródła, format CKE i materiały ZPE

Podstawa programowa MEN

MEN 2023 / zakres zgodny

Fizyka ZR, dział I pkt 5 — Kinematyka. Zakres: ruch po okręgu, prędkość kątowa i liniowa, okres, przyspieszenie dośrodkowe, siła dośrodkowa.

Format CKE

matura PP+PR / ruch okrężny

Typowe zadania: obliczenia an i F dośrodkowej, identyfikacja źródła siły (tarcie, grawitacja), analiza ruchu satelity. Punktacja: 2–3 pkt.

ruch po okręguprędkość kątowaprzyspieszenie dośrodkowesiła dośrodkowaokresczęstotliwośćmatura fizyka ZR

Źródła: MEN — podstawa programowa 2023; CKE — informator maturalny PR 2023 i arkusze 2023–2025; ZPE — moduł ruchu okrężnego.

W tej lekcji

Postęp:6%
Zbiór zadańkrok po kroku Matura próbnaarkusz
← Poprzednia lekcja