Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Fizyka›Dział FIZ.1.3›Zasada zachowania energii mechanicznej i sprawność

FIZ.1.3.3

Zasada zachowania energii mechanicznej i sprawność

ZZE, wahadło matematyczne i oscylator sprężynowy

ZZEzasada zachowania energiiwahadło matematycznesprężynasprawnośćoscylatormatura fizyka ZR⏱ ~60 min

⏱ ~60 min

Zasada zachowania energii mechanicznej i sprawność

Po tej lekcji będziesz umieć

Zastosować ZZE: Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂

do zadań bez tarcia

Obliczyć stratę energii przy tarciu

ΔEm = − $f$ ·Δx

Wyznaczyć okres wahadła matematycznego

T = 2π√(L/g) i zaplanować pomiar g

Wyznaczyć okres oscylatora sprężynowego

T = 2π√(m/k)

Obliczyć sprawność maszyny

η = $E_\text{użyteczna}$ / $E_\text{dostarczona}$ (lub $P_\text{użyteczna}$ / $P_\text{dostarczona}$ )

Po co Ci to na maturze?

ZZE jest ulubionym narzędziem CKE — znacznie szybsze niż kinematyka, bo omija t i a. Pojawia się w zadaniach z ślizgawkami, kulami na sznurku, wahadłami, sprężynami. Na PR obowiązkowe jest zadanie doświadczalne z wahadłem lub sprężyną.

Najważniejsza idea

ZZE pomija czas i przyspieszenie — wystarczą stany początkowy i końcowy. Zadanie, które kinematyką zajmuje 5 kroków, energetycznie rozwiązujesz w 2 krokach.

Intuicja zjawiska

Huśtawka: na górze zatrzymuje się (Ek = 0, Ep = max), na dole pędzi (Ek = max, Ep = 0). Suma zawsze taka sama — energia przełącza się między kinetyczną a potencjalną. Gdyby nie tarcie i opór powietrza, huśtałaby się wiecznie.

ZZE bez tarcia

Em = Ek + Ep = const. Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂. Wybierz dwa stany układu i wyraź energię w każdym.

ZZE z tarciem

Em₂ = Em₁ − $W_\text{tarcia}$ . Energia nie znika — zamienia się na ciepło. $W_\text{tarcia}$ = $f$ ·Δx = $\mu_k$ ·N·Δx.

Wahadło i sprężyna

T = 2π√(L/g) — niezależne od masy i amplitudy (dla małych α). T = 2π√(m/k) — niezależne od amplitudy, rośnie z m, maleje z k.

Wielkości i jednostki

ZZE

Ek, Ep, Esp [J], $W_\text{tarcia}$ [J]

Em = Ek+Ep+Esp; $W_\text{tarcia}$ = $f$ ·Δs < 0

Oscylacje

T [s], f [Hz], L [m], k [N/m]

T = 2π√(L/g) lub 2π√(m/k); f = 1/T

Zapamiętaj

Wahadło: T zależy tylko od L i g — nie od masy i amplitudy (dla małych α < 15°). Sprężyna: T zależy od m i k — nie od amplitudy. Obie cechy: izochornizm (stały okres).

Modele i zasady

Szybka zasada

ZZE dla układu bez tarcia: Ek₁ + Ep₁ + Esp₁ = Ek₂ + Ep₂ + Esp₂. Ustal poziom h = 0, zapisz energię w stanie 1 (często v = 0 lub h = 0) i stanie 2 (szukane). Jedno równanie z jedną niewiadomą.

Szybka zasada

ZZE z tarciem: Em₂ = Em₁ − $f$ ·Δs. Strata energii = ciepło wydzielone przez tarcie. Skrótowo (dla porównania energii mechanicznej w dwóch określonych stanach): η = Em₂/Em₁ = 1 − ( $f$ ·Δs)/Em₁.

Szybka zasada

Wahadło matematyczne: T = 2π√(L/g). Niezależne od m i A (izochornizm). Stąd: g = 4π²L/T² — pomiar g przez mierzenie T. Dokładność: δg = δL/L + 2δT/T.

Mapa zasady zachowania energii

Figura 1 · Przepływ myślenia

Mapa zasady zachowania energii

Układ bez tarcia

siły zachowawcze tylkograwitacja, sprężynaEm = const

ZZE: Em₁ = Em₂

Ek₁+Ep₁ = Ek₂+Ep₂dwa stanybez t i a!

Spadek swobodny

½mv² = mghv = √(2gh)niezależne od m

Sprężyna (MHO)

½kA² = ½mv²_max

v_{\text{max}}

= A√(k/m)Ek↔Ep↔Esp

Wahadło matematyczne

T = 2π√(L/g)niezależne od m i A (małe α)Ep↔Ek

Z tarciem: ΔEm < 0

ΔEm = −

W_{\text{tarcia}}

W_{\text{tarcia}}

f_{\text{k}}

·Δsstrata → ciepło

Sprawność η

η = E

m_{\text{użyt}}

m_{\text{dostar}}

.η < 1 zawsze1−η = straty

Weryfikacja

Em₂ ≤ Em₁?Ek ≥ 0?energia zachowana globalnie

Przepływ 1→8:12345678

Teoria: zastosowania ZZE

Swobodny spadek (Ep → Ek):

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} \quad (\text{niezależne od masy})$

Ślizgawka z tarciem:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + f$

Wahadło matematyczne:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, \quad g = \frac{4\pi^2 L}{T$

Sprężyna (MHO):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \quad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Amplituda A: $\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \implies v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} = A\omega$

Sprawność:

Ogólnie sprawność to stosunek energii (lub mocy) użytecznej do dostarczonej:

$\eta = \frac{E_{uż}}{E_{dost}} = \frac{P_{uż}}{P_{dost}} \leq 1$

Gdy porównujemy energię mechaniczną w dwóch jasno określonych stanach (przed/po), można użyć skrótu:

$\eta = \frac{E_{m,po}}{E_{m,przed}} = 1 - \frac{f$

Em₁ = Em₂

ZZE (bez tarcia)

Em₂ = Em₁ − $f$ ·Δs

z tarciem

v = √(2gh)

spadek swobodny

T = 2π√(L/g)

wahadło

T = 2π√(m/k)

sprężyna

g = 4π²L/T²

z wahadła

Solver zasady zachowania energii

Solver · Procedura rozwiązania

Solver zasady zachowania energii — krok po kroku

Identyfikacja

Dwa stany układu

Stan 1 (przed) i Stan 2 (po/szukany)

moment 1 i moment 2wszystkie dane

Poziom odniesienia

h = 0 → najwygodniejszy punkt

ziemianajniższy punkt

Tarcie?

Bez tarcia: ZZE. Z tarciem: ΔEm < 0

ZZE czysty?

W_ ext{tarcia}

f

·s

Równanie energii

Zapisz Em₁ i Em₂

Em = ½mv² + mgh + ½kx²

wszystkie składnikiv=0? h=0?

Em₁ = Em₂ (bez tarcia)

Lub Em₁ − $W_ ext{tarcia}$ = Em₂

ZZE lub z tarciemjedna równ.

Wahadło / MHO

T = 2π√(L/g) lub T = 2π√(m/k)

niezależne od m (wahadło)A dowolne

Wynik

Rozwiąż równanie

Wyznacz v, h lub x ze wzoru

v = √(2ΔEp/m)algebraicznie

Sprawność η

η = E $m_{\text{użyt}}$ /E $m_{\text{dostarczono}}$

≤ 1strata = (1−η)·Em

Sens fizyczny

Em₂ ≤ Em₁? Ek ≥ 0? v realne?

energia rośnie tylko gdy zewn. W > 0sprawdź

Doświadczenie: wyznaczenie g wahadłem matematycznym

Cel: wyznaczyć g przez pomiar okresu T wahadła długości L.

Hipoteza: T = 2π√(L/g), więc g = 4π²L/T². Wykres T²(L) powinien być prostą przez 0, nachylenie = 4π²/g.

Zmienna	Typ	Opis
L — długość wahadła	niezależna	od punktu zawieszenia do środka kulki
T — okres wahadła	zależna	zmierzony stoperem lub czujnikiem
masa kulki, amplituda	kontrolowane	małe amplitudy (kąt wychylenia < 10°)

Zmierz L dla 6 różnych długości (0,2–1,0 m)

dokładność ±1 mm

Puść wahadło z małym kątem α ≈ 5°

zmierz czas 20 wahnięć → T = t₂₀/20

Wykreśl T²(L) — sprawdź czy prosta przez 0

nachylenie = 4π²/g

Oblicz g z nachylenia

g = 4π²/nachylenie

Porównaj z tablicową g = 9,81 m/s²

δg = ?

Wzór na g:

$g = \frac{4\pi^2 L}{T$

Szybka zasada

Źródła niepewności: Pomiar L (końcówka sznurka vs środek kulki, δL ≈ 2 mm), reakcja stoperem (δt ≈ 0,2 s dla 20 wahnięć → δT ≈ 0,01 s), amortyzacja amplitudy.

Najważniejsza idea

Niepewność względna (PR): δg = δL/L + 2·δT/T. Błąd pomiaru T jest podwojony (T²)! Liczymy 20 wahnięć, by zmniejszyć δT do 1%. Typowo δg ≈ 2–3%.

Wniosek: g = (9,78 ± 0,20) m/s² — zgodne z tablicową w granicach niepewności. Izochornizm wahadła potwierdzony: T nie zależy od masy kulki ani małej amplitudy.

Przykład rozwiązany

Zadanie (styl CKE): Kulka m = 0,3 kg ześlizguje się bez tarcia z wysokości h = 2,0 m po gładkiej ślizgawce. Jaka jest jej prędkość u dołu? Następnie wchodzi w sprężynę k = 600 N/m i ją ściska. Jakie jest maksymalne ugięcie?

1. Prędkość u dołu (Ep → Ek):

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2{,}0} = \sqrt{40} \approx 6{,}32 \, m/s$

2. Maks. ugięcie sprężyny (Ek → Esp):

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2 \implies x = v\sqrt{\frac{m}{k}} = 6{,}32 \cdot \sqrt{\frac{0{,}3}{600}} \approx 6{,}32 \cdot 0{,}0224 \approx 0{,}141 \, m$

Tu $x$ to maksymalne ugięcie sprężyny mierzone od położenia nieodkształconego (równowagi) — nie mylić z całkowitą drogą kulki.

Zapamiętaj

Trzy stany: (1) góra ślizgawki: v=0, h=2m → (2) dół: v=6,32 m/s, h=0 → (3) maks. ugięcie: v=0, x=0,141 m. ZZE zastosowane dwukrotnie.

Mini-praktyka CKE — przeanalizuj sam

Huśtawka (L = 2,5 m) zostaje odchylona o h = 0,5 m (pionowa różnica wysokości).

Oblicz prędkość w najniższym punkcie (ZZE).
Oblicz okres wahadła T.
(PR) Na ułamku drogi traci 10% energii przez tarcie. Jaka będzie prędkość w najniższym punkcie?

Częste błędy

ZZE stosuje się zawsze

Tylko gdy brak sił niezachowawczych (tarcia) lub gdy jawnie uwzględniamy stratę $W_\text{tarcia}$ . Z tarciem: Em₂ = Em₁ − $f$ ·Δs.

T wahadła zależy od masy

Nie! T = 2π√(L/g) — niezależne od masy. Cięższe wahadło ma tę samą T przy tym samym L.

T wahadła zależy od amplitudy

Tylko przy małych kątach (α < 15°) T ≈ const. Dla dużych kątów T rośnie z A (nie omawiamy).

v = √(2gh) tylko dla pionowego spadku

v = √(2gh) zawsze gdy ZZE bez tarcia — niezależnie od kształtu toru! Ślizgawka, rura, rollercoaster.

Energia stracona = 0 gdy ZZE

ZZE (dla układu mechanicznego): Em = const. Ale to nie znaczy, że energia w ogóle się nie zmienia — Ek i Ep zamieniają się, suma jest stała.

T sprężyny nie zależy od k

Nie! T = 2π√(m/k) — rośnie z m, maleje z k (twarda sprężyna = szybsze drgania).

Powtórka w 30 sekund

To zapamiętaj przed zadaniami CKE

Em₁ = Em₂

ZZE (bez tarcia)

Em₂ = Em₁ − $W_\text{tarcia}$

z tarciem

v = √(2gh)

z ZZE

T = 2π√(L/g)

wahadło

T = 2π√(m/k)

sprężyna

g = 4π²L/T²

z wahadła

Zapamiętaj

ZZE: wybierz 2 stany, zapisz Em w każdym, przyrównaj. Jeden wzór zamiast 4 kroków kinematyki.

Kluczowe pojęcia

Zasada zachowania energii mechanicznej

bez sił niezachowawczych: Em = Ek+Ep = const; Ek↔Ep przy stałej sumie

Siła niezachowawcza

tarcie, opór powietrza; praca zależy od drogi (nie tylko punktów końcowych); powoduje ΔEm < 0

Wahadło matematyczne

punkt materialny na nieważkiej linie; T = 2π√(L/g); izochornizm dla α < 15°

Izochornizm

stały okres niezależny od amplitudy; cecha wahadła i liniowego oscylatora sprężynowego

Oscylator harmoniczny

masa na sprężynie; T = 2π√(m/k); $v_{\max}$ = Aω; Ek+Esp = ½kA² = const

Sprawność mechaniczna

ogólnie η = $E_\text{użyteczna}$ / $E_\text{dostarczona}$ ≤ 1; przy porównaniu dwóch stanów energii mechanicznej skrótowo η = $Em_\text{po}$ / $Em_\text{przed}$ = 1 − $f$ ·Δs/ $Em_\text{przed}$