Postać kanoniczna i ogólna — przesunięcia paraboli

Klasa 2PodstawaPostać kanoniczna paraboli

Postać ogólna f(x)=ax²+bx+c jest dobra do liczenia delty i przecięcia z osią Y, a postać kanoniczna f(x)=a(x−p)²+q od razu pokazuje wierzchołek (p,q). Najważniejsze jest dobrać postać do pytania, zamiast liczyć wszystko od zera.

⏱ ~26 min

Postać kanoniczna i ogólna — przesunięcia paraboli

Po co Ci ten temat?

Ta sama parabola może być zapisana na kilka sposobów. Kto zna tylko jedną postać, robi zadanie trzy razy dłużej niż trzeba. Postać kanoniczna jest szczególnie ważna, bo od razu pokazuje wierzchołek i przesunięcie wykresu — pomaga szybko szkicować, rozpoznawać minimum/maksimum i przechodzić między wzorem a rysunkiem.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Dwie postacie tej samej funkcji kwadratowej (współczynnik $a$ jest w obu ten sam):

f(x)=ax^2+bx+c \quad(\text{ogólna}),\qquad f(x)=a(x-p)^2+q \quad(\text{kanoniczna}),\qquad a\neq 0

Wierzchołek to $W=(p,q)$ , gdzie:

p=-\frac{b}{2a},\qquad q=f(p)=-\frac{\Delta}{4a},\qquad \Delta=b

Postać	Wzór	Co od razu widać
Ogólna	$ax^2+bx+c$	$\Delta$ , miejsca zerowe, przecięcie z $OY$ $(0,c)$
Kanoniczna	$a(x-p)^2+q$	wierzchołek $(p,q)$ , oś symetrii, min/max

Uwaga na znak w nawiasie: $(x-p)$ daje $x=p$ . Zapis $(x+2)^2=(x-(-2))^2$ , więc $p=-2$ .

Przesunięcia względem $y=ax^2$ : $p>0$ w prawo, $p<0$ w lewo, $q>0$ w górę, $q<0$ w dół.

Postać ogólna vs kanoniczna

co od razu widać z każdej

ogólna ax²+bx+c

kanoniczna a(x−p)²+q

Δ, miejsca zerowe, punkt (0,c)

wierzchołek (p,q), oś symetrii

liczysz deltę i pierwiastki

odczytujesz min/max bez liczenia

Współczynnik a jest ten sam w obu postaciach. p=−b/2a, q=f(p)=−Δ/4a.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Z postaci ogólnej zapisz $a$ , $b$ , $c$ .
Policz $p=-\tfrac{b}{2a}$ .
Policz $q=f(p)$ (najbezpieczniej podstawić $p$ do funkcji).
Zapisz postać kanoniczną $f(x)=a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)$ .
Z postaci kanonicznej odczytaj od razu $W=(p,q)$ , oś $x=p$ i min/max.

Infografika

Ogólna → kanoniczna (i z powrotem)

wierzchołek z wzoru

Z ogólnej: zapisz a, b, c

f(x)=ax²+bx+c

Policz p

p = −b/(2a)

Policz q

q = f(p) — najbezpieczniej podstawić p

Zapisz kanoniczną

f(x)=a(x−p)²+q • wierzchołek (p • q)

Znak w nawiasie

x+5 oznacza p=−5 • bo x+5=x−(−5)

Pamiętaj: W drugą stronę: wymnóż (x−p)² i uprość. Współczynnik a zostaje bez zmian.

Bazowa parabola y=x² (przerywana) i przesunięta y=(x−2)²−3 z wierzchołkiem W=(2,−3) oraz osią symetrii x=2 — Postać kanoniczna f(x)=a(x−p)²+q przesuwa parabolę y=x² do wierzchołka W=(p,q). Tu (x−2)²−3 to 2 w prawo i 3 w dół.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (ogólna → kanoniczna). Zapisz f(x)=x^2-4x+1 w postaci kanonicznej.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- f(x)=(x-3)^2+2 → W=(-3,2) . FAŁSZ — wzór to a(x-p)^2 , więc x-3=x-p daje p=3 ; wierzchołek (3,2) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Postać kanoniczna często pojawia się w zadaniach o największej/najmniejszej wartości . Pytanie „dla jakiego x funkcja przyjmuje wartość najmniejszą" oznacza: szukaj wierzchołka.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość