Walec i stożek — objętości, pola i siatki

Klasa 3Bryły obrotoweWalec i stożekH ≠ l

Walec i stożek najłatwiej ogarnąć przez trzy elementy: promień podstawy r, wysokość H i tworzącą l. W zadaniach najpierw rysujesz przekrój osiowy, potem decydujesz, czy liczysz objętość, pole boczne czy pole całkowite.

⏱ ~33 min

Walec i stożek — objętości, pola i siatki

Po co Ci ten temat?

Walec i stożek pojawiają się w zadaniach o puszkach, zbiornikach, namiotach, lejach i objętości cieczy. To stereometria, ale w praktyce sprowadza się do dobrego rysunku przekroju i spokojnego podstawienia do wzoru.

Poziom: część wspólna PP/PR; wzory są szkolne, a przekrój osiowy, siatka stożka i optymalizacja — rozszerzone.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Walec powstaje z obrotu prostokąta wokół boku, stożek z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej.

Bryła	Objętość	Pole boczne	Pole całkowite
walec	$V=\pi r$	$P$	$P$
stożek	$V=\tfrac13\pi r$	$P$	$P$

W stożku pojawia się tworząca $l$ — to nie jest wysokość. W przekroju osiowym połowa daje trójkąt prostokątny:

l

⚠️ W stożku: $H$ do objętości, $l$ do pola bocznego

Do objętości stożka używasz wysokości $H$ , a do pola bocznego tworzącej $l$ . $H$ i $l$ nie są zamienne ( $l>H$ , bo $l$ to przeciwprostokątna).

Stożek z przekrojem osiowym sprowadzonym do trójkąta prostokątnego o bokach r (promień), H (wysokość) oraz l (tworząca, przeciwprostokątna); po lewej wzór V = jedna trzecia pi r kwadrat H (używa H), po prawej P_b = pi r l (używa l), na dole l kwadrat = r kwadrat + H kwadrat — H i l to różne odcinki — do objętości V=⅓πr²H używasz wysokości H, a do pola bocznego P_b=πrl tworzącej l. Brakującą długość policzysz z przekroju osiowego: l²=r²+H².

Słownictwo

Walec czy stożek?

Cecha Walec Stożek --- --- --- podstawy dwie jedna objętość \pi r^2 H \tfrac13\pi r^2 H (jedna trzecia walca) pole boczne 2\pi r H (prostokąt 2\pi r\times H ) \pi r l (wycinek koła o promieniu l )

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Ustal bryłę: walec, stożek czy połączenie.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (stożek z przekroju osiowego). Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o podstawie 2r=12 i wysokości H=8 , więc r=6 i H=8 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Mylenie H z l . l^2=r^2+H^2 ; l leży na powierzchni bocznej, H jest prostopadła do podstawy.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Dostajesz bryłę obrotową z rysunkiem i jednym brakującym wymiarem. Schemat: odczytaj r i H , policz brakującą długość z Pitagorasa, użyj wzoru na objętość albo pole.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość