Kula — objętość, pole i bryły wpisane/opisane
W zadaniach z kulą prawie wszystko kręci się wokół promienia R i dobrego przekroju przez środek. Jeśli bryła jest wpisana lub opisana na kuli, szukasz trójkąta prostokątnego albo przekątnej, która staje się średnicą kuli.
Po co Ci ten temat?
Kula wygląda prosto — ma tylko jeden wymiar: promień. Ale zadania szybko robią się podchwytliwe, gdy pojawia się sześcian wpisany w kulę, kula opisana na bryle albo przekrój kuli płaszczyzną.
Poziom: część wspólna PP/PR; same wzory są bazowe, bryły wpisane/opisane — rozszerzone.
Słownictwo
Najważniejsza idea w prostych słowach
Dwa wzory (promień kuli oznaczamy , by nie mylić z promieniem podstawy walca/stożka):
| Symbol | Znaczenie |
|---|---|
| promień kuli | |
| średnica kuli | |
| objętość | |
| pole powierzchni |
W zadaniach z kulą prawie zawsze najpierw szukasz promienia , a dopiero potem liczysz pole lub objętość.
Technika: zrób przekrój przez środek — kula zamienia się w koło wielkie, a zadanie staje się płaskie.
⚠️ $\pi R^2$ to pole koła, nie kuli
Pole powierzchni kuli to . to pole koła (figury płaskiej) — to najczęstszy błąd.
Słownictwo
Sześcian a kula — dwa różne przypadki
Sytuacja Co jest średnicą? Wzór --- --- --- sześcian wpisany w kulę (wierzchołki na kuli) przekątna sześcianu a\sqrt3=2R kula wpisana w sześcian (kula dotyka ścian) krawędź sześcianu a=2R ⚠️ Przekątna sześcianu ≠ przekątna ściany.
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. Ustal: kula samodzielna, wpisana czy opisana?
Przykład
Przykład rozwiązany
Przykład 1 (sześcian wpisany w kulę). Krawędź a=6 .
Przykład
Typowe pułapki i błędy
- Pole kuli jako \pi R^2 . \pi R^2 to pole koła ; powierzchnia kuli to P=4\pi R^2 .
Jak to wygląda na maturze?
Na PP kula pojawia się wprost: oblicz pole, objętość, promień z pola/objętości. Na PR — kula wpisana lub opisana na innej bryle.
Kluczowe pojęcia
Kula
Zbiór punktów w przestrzeni oddalonych od środka nie bardziej niż o promień R.
Sfera
Powierzchnia kuli, czyli punkty oddalone od środka dokładnie o promień R.
Promień kuli
Odległość od środka kuli do jej powierzchni.
Średnica kuli
Odcinek przechodzący przez środek kuli i łączący dwa punkty sfery; ma długość 2R.
Kula opisana
Kula przechodząca przez ważne punkty bryły, zwykle przez jej wierzchołki.
Kula wpisana
Kula styczna do ścian lub powierzchni innej bryły.
Materiały ZPE
4 materiałyWzory w tablicach
Powiązane wzory maturalne
Powtórka do matury
Ten temat na maturze