Reguły różniczkowania — suma, iloczyn, iloraz, złożona

Klasa 4RozszerzenieReguły różniczkowaniaReguła łańcuchowa

Większość zadań z pochodnych nie wymaga liczenia z definicji, tylko szybkiego rozpoznania typu funkcji i użycia właściwej reguły. Największa pułapka to funkcja złożona — tam trzeba pomnożyć przez pochodną środka.

⏱ ~30 min

Reguły różniczkowania — suma, iloczyn, iloraz, złożona

Po co Ci ten temat?

Reguły różniczkowania to tabliczka mnożenia rachunku różniczkowego. Gdy je opanujesz, zadania o monotoniczności, ekstremach, stycznej i optymalizacji robią się dużo prostsze.

Poziom: rozszerzenie (PR) — podstawowy warsztat analizy matematycznej. Na maturze rozszerzonej pochodna to zwykle etap większego zadania, nie cel sam w sobie.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Nie liczysz pochodnej z definicji za każdym razem — rozpoznajesz strukturę funkcji i używasz reguły:

Funkcja / działanie	Pochodna
$c$	$0$
$x$	$n\,x^{n-1}$
$a\,f(x)$	$a\,f'(x)$
$f(x)+g(x)$	$f'(x)+g'(x)$
$f(x)-g(x)$	$f'(x)-g'(x)$
$f(x)\,g(x)$	$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}$	$\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\big(g(x)\big)^2}$ (przy $g(x)\neq0$ )
$f(g(x))$	$f'(g(x))\cdot g'(x)$

Pochodne funkcji elementarnych (z tablic CKE — potrzebne w przykładach i regułach): $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ , $(e$ , $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ . Reguły poniżej łączą te pochodne z działaniami (suma, iloczyn, iloraz, złożenie).

Kiedy wolno użyć reguły (warunki). Wzory działają, gdy $f$ i $g$ są różniczkowalne w rozważanym punkcie $x$ . Dla ilorazu dodatkowo $g(x)\neq0$ . Dla funkcji złożonej: $g$ różniczkowalna w $x$ , a $f$ różniczkowalna w punkcie $g(x)$ .

Najpierw rozpoznaj strukturę funkcji (suma / iloczyn / iloraz / złożenie), potem wybierz regułę. Nie każda funkcja z nawiasem jest automatycznie iloczynem albo ilorazem.

Drzewo decyzji wyboru reguły różniczkowania. Od pytania „jak zbudowana jest funkcja?" pięć gałęzi: suma/różnica (f±g)'=f'±g'; stała·funkcja (c·f)'=c·f'; iloczyn (fg)'=f'g+fg'; iloraz (f/g)'=(f'g−fg')/g² z warunkiem g(x)≠0; złożenie (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x). Zasada na dole: rozpoznaj ostatnie działanie zewnętrzne, ono wybiera regułę. — Najpierw rozpoznaj główną strukturę funkcji (suma/różnica, stała·funkcja, iloczyn, iloraz, złożenie), a dopiero potem licz pochodną. O głównej regule decyduje ostatnie wykonywane działanie.

Słownictwo

Którą regułę wybrać?

Zasada nadrzędna: najpierw rozpoznaj działanie zewnętrzne (to wykonywane jako ostatnie), a dopiero potem licz wnętrza — to ono decyduje o głównej regule.

Struktura	Reguła
suma / różnica	różniczkuj składniki osobno
iloczyn $u\,v$	$u'v+uv'$
iloraz $\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v$ (przy $v\neq0$ )
potęga nawiasu / funkcja w funkcji	$f'(g)\cdot g'$ (reguła łańcuchowa)

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Wskazówka maturalna (ExamTip): jeśli przed różniczkowaniem możesz bezpiecznie uprościć wielomian, często będzie szybciej niż reguła iloczynu/ilorazu.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (iloczyn — i skrót przez uproszczenie). f(x)=x^2(x^3-4x) .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Typowe pułapki i błędy

Iloczyn to nie iloczyn pochodnych — najczęstszy błąd: ŹLE DOBRZE --- --- (fg)'=f'g' (fg)'=f'g+fg' Raz różniczkujesz pierwszy czynnik (drugi zostaje), raz drugi — i dodajesz oba wkłady. ⚠️ Iloraz — trzy rzeczy naraz.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na PR pochodna rzadko jest celem samym w sobie — to etap większego zadania (monotoniczność, ekstrema, styczna, optymalizacja). Błąd w pochodnej psuje cały dalszy tok, więc pisz pośrednie kroki czytelnie.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość