Wartości trygonometryczne kątów — kąty ostre i dowolne

Klasa maturalnaMatura PPKąt, znak, wartośćOkrąg jednostkowy

W trygonometrii maturalnej najpierw ustalasz kąt i znak funkcji, a dopiero potem liczysz. Dla 30°, 45° i 60° musisz znać wartości z pamięci, a dla kątów dowolnych korzystasz z okręgu jednostkowego i ćwiartek.

⏱ ~39 min

Wartości trygonometryczne — kąty ostre i dowolne

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE sprawdza przejście od kąta do wartości $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ . Na PP wystarczają kąty ostre i trójkąt prostokątny; na PR dochodzi okrąg jednostkowy, znaki w ćwiartkach i kąty $>90^\circ$ .

Tabela do zapamiętania:

Kąt	$\sin$	$\cos$	$\operatorname{tg}$
$30^\circ$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt3}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$\sqrt3$

Znaki w ćwiartkach:

Ćwiartka	$\sin$	$\cos$	$\operatorname{tg}$
I	$+$	$+$	$+$
II	$+$	$-$	$-$
III	$-$	$-$	$+$
IV	$-$	$+$	$-$

Okrąg jednostkowy z podziałem na ćwiartki I–IV i znakami funkcji sin, cos, tg w każdej ćwiartce — W każdej ćwiartce sin, cos i tg mają ustalone znaki. Najpierw ustal ćwiartkę, potem weź wartość z tabeli i dołóż znak.

Kąt odniesienia to ostry kąt między końcowym ramieniem kąta a osią $OX$ . Wartość $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ kąta $>90^\circ$ jest co do modułu taka sama jak dla jego kąta odniesienia — różni się tylko znakiem (z ćwiartki). Np. dla $150^\circ$ kąt odniesienia to $30^\circ$ , dla $240^\circ$ to $60^\circ$ , dla $330^\circ$ to $30^\circ$ .

Poziom: kąty ostre to PP; kąty dowolne, okrąg jednostkowy i radiany to PR bridge.

Tangens — warunek istnienia

\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\neq0

$\operatorname{tg} x$ nie istnieje, gdy $\cos x=0$ — czyli dla $90^\circ$ i $270^\circ$ (ogólnie $90^\circ+k\cdot180^\circ$ , $k\in\mathbb{Z}$ ). Nigdy nie dziel przez zero.

Schemat: kąt → znak → wartość

Infografika

Algorytm: od kąta do wartości

Kąt standardowy?

30° 45° 60° — wartość wprost z tabeli

Kąt > 90°?

znajdź kąt odniesienia (np. 150° → 30°)

Ćwiartka i znak

ustal ćwiartkę; odczytaj znak funkcji

Wartość plus znak

moduł z tabeli; znak z ćwiartki

tg i radiany

przy tg sprawdź cos x ≠ 0; pamiętaj π = 180°

Przykład

Przykład 1 — II ćwiartka

\sin150^\circ+\cos120^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — III i IV ćwiartka

\cos240^\circ+\sin300^\circ . Kąty odniesienia oba 60^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — radiany

\sin\dfrac{5\pi}{6}+\cos\dfrac{2\pi}{3} .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — $\cos330^\circ$ (IV ćwiartka)

Krok po kroku: 1. 330^\circ leży w IV ćwiartce (między 270^\circ a 360^\circ ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Zadanie zamknięte (ABCD)

Która z poniższych wartości jest równa -\dfrac{\sqrt3}{2} ? - A.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Wartość bez znaku. Najpierw ćwiartka i znak, potem wartość z tabeli.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rozłóż kąt na ćwiartkę + kąt odniesienia, weź wartość z tabeli 30^\circ/45^\circ/60^\circ i dołóż znak. Przy \operatorname{tg} pilnuj \cos x\neq0 , przy radianach pamiętaj \pi=180^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość