NexTutor
Dział MAT.M.14›Kombinatoryka — permutacje, wariacje, kombinacje

Kombinatoryka — permutacje, wariacje, kombinacje

Klasa maturalnaMatura PPKolejność czy wybór?Najpierw model

W kombinatoryce najważniejsze nie jest zapamiętanie nazw, tylko rozpoznanie, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać. Gdy odpowiesz na te dwa pytania, zwykle od razu wiadomo, czy użyć permutacji, wariacji czy kombinacji.

⏱ ~32 min
Kombinatoryka — permutacje, wariacje, kombinacje

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE sprawdza, czy umiesz policzyć liczbę możliwości, a nie definicje na pamięć. Hasła: „na ile sposobów", „ile różnych kodów", „ile składów komisji", „ile liczb można utworzyć".

Trzy pytania, które wybierają model:

  1. Czy kolejność ma znaczenie? (AB≠BAAB\neq BA?)
  2. Czy elementy mogą się powtarzać?
  3. Czy wybieram wszystkie elementy, czy część?

Poziom: matura podstawowa (reguła mnożenia, proste kombinacje) + PR (sprawne rozpoznawanie modeli, dopełnienie).

Wzory

Pn=n!(permutacje),Vnk=n!(n−k)!(wariacje bez powt.)Pn=n! \quad(\text{permutacje}),\qquad Vn^k=\frac{n!}{(n-k)!} \quad(\text{wariacje bez powt.}) V‾nk=nk(wariacje z powt.),Cnk=(nk)=n!k!(n−k)!(kombinacje)\overline{V}_n^k=nk \quad(\text{wariacje z powt.}),\qquad Cn^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \quad(\text{kombinacje})

Warunek: 0≤k≤n0\le k\le n (wariacje/kombinacje bez powtórzeń).

Komisja to nie ustawienie. „Wybieram grupę" (komisja, zespół, podzbiór) → kombinacja (kolejność bez znaczenia). „Ustawiam / role / kod" → permutacja lub wariacja (kolejność ma znaczenie). VnkVn^k = bez powtórzeń, V‾nk=nk\overline{V}_n^k=nk = z powtórzeniami.

Wizualizacja· Drzewo wyboru wzoru
Drzewo decyzji — pytanie „czy kolejność ma znaczenie", gałąź NIE prowadzi do kombinacji C(n,k), gałąź TAK do pytania „czy powtórzenia dozwolone", stąd wariacja bez powtórzeń albo wariacja z powtórzeniami n do potęgi k
Najpierw rozpoznaj model: czy kolejność ma znaczenie? NIE → kombinacja C(n,k). TAK → czy powtórzenia? nie → wariacja bez powtórzeń, tak → n^k. Permutacja to wariacja bez powtórzeń, gdy używasz wszystkich elementów.

Co zauważyć: Nie wybieraj wzoru, zanim nie odpowiesz na pytania z drzewa (kolejność? powtórzenia?).

Drzewo decyzji

  • kolejność ma znaczenie + część elementów → wariacje (VnkVn^k bez powt., V‾nk=nk\overline{V}_n^k=nk z powt.)
  • kolejność ma znaczenie + wszystkie elementy → permutacja n!n!
  • kolejność nie ma znaczenia → kombinacje (nk)\binom{n}{k}
  • „co najmniej jeden" → dopełnienie: wszystkie −- zakazane

Przykład

Przykład główny — kombinacja (komisja)

Z 10 osób wybieramy 3 -osobową komisję.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Kontrprzykłady — różne modele

Permutacja. Ustawiamy 5 osób w kolejce: 5!

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład — „co najmniej jeden" (dopełnienie)

Ile kodów 4 -cyfrowych (cyfry 0 – 9 ) ma co najmniej jedną siódemkę? Liczymy wszystkie kody minus te bez siódemki: 10^4-9^4=10000-6561=3439 „Co najmniej jeden" najczęściej liczysz przez dopełnienie : wszystkie - zakazane (łatwiej niż sumować przypadki).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Komisja jako 10\cdot9\cdot8 . Bez kolejności to kombinacja \binom{10}{3}=120 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: zadaj trzy pytania (kolejność? powtórzenia?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Reguła mnożenia

Jeśli decyzje wykonujesz kolejno, liczysz możliwości dla każdej decyzji i mnożysz wyniki

Silnia

Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n, np. 5!=5·4·3·2·1

Permutacja

Ustawienie wszystkich elementów w określonej kolejności

Wariacja

Wybór części elementów z uwzględnieniem kolejności

Kombinacja

Wybór grupy elementów bez uwzględniania kolejności

Dopełnienie

Metoda, w której liczysz wszystkie przypadki i odejmujesz te, których zadanie nie dopuszcza

Materiały ZPE

3 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

PermutacjePn=n!P_n=n!Wariacje bez powtórzeńVnk=n!(n−k)!V_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}Wariacje z powtórzeniamiV‾nk=nk\overline{V}_n^k=n^kKombinacje (symbol Newtona)(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}Wzór dwumianowy Newtona(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}

Materiał z klas 1–4

Skąd znasz ten materiał

Kombinatoryka — permutacje, wariacje i kombinacje
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:10%
← Powrót do działuNastępna lekcja →