Jak to działa Funkcje Podręcznik Lektury Baza wiedzy Cennik Pomoc

Podręcznik›Matematyka›Dział MAT.1.2›Wzory skróconego mnożenia — wszystkie wzory i skróty

Wzory skróconego mnożenia — wszystkie wzory i skróty

Klasa 1PodstawaNie zgub 2ab

Wzory skróconego mnożenia nie są do ozdoby — one mają skrócić rachunki i pomóc rozpoznawać ukryte kwadraty oraz różnice kwadratów. Najważniejsze jest nie zgubić środkowego składnika 2ab.

⏱ ~25 min

Wzory skróconego mnożenia — wszystkie wzory i skróty

Po co Ci ten temat?

Wzory skróconego mnożenia to jedno z najczęściej używanych narzędzi w algebrze: upraszczanie wyrażeń, rozkład na czynniki, równania, funkcja kwadratowa, dowody. To temat, w którym uczeń często „prawie umie", ale traci punkty przez jeden brakujący składnik.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko wymnożyć albo rozłożyć na czynniki charakterystyczne wyrażenia — działają w obie strony.

Trzy najważniejsze (klasa 1):

(a+b)^2=a

(a-b)^2=a

a

Wzory sześcienne (przydatne, rzadziej w PP):

(a+b)^3=a

a

Uwaga na środek: w $(a-b)^2$ środkowy składnik to $-2ab$ (a nie samo $-ab$ ). I pamiętaj — nie ma wzoru rozkładu na $a$ w liczbach rzeczywistych.

Kwadrat różnicy vs różnica kwadratów

dwa podobne zapisy, ale różne wzory

(a−b)²

a²−b²

= a² − 2ab + b² (trójmian)

= (a−b)(a+b) (iloczyn)

kwadrat jednego nawiasu

dwa kwadraty z minusem między nimi

(a−b)² to TRÓJMIAN ze środkiem −2ab; a²−b² to ILOCZYN dwóch nawiasów. Nie myl ich.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

Rozwijanie nawiasu:

Rozpoznaj $a$ i $b$ (uwaga: jeśli $a=2x$ , to $a$ ).
Zapisz $a$ , potem $\pm 2ab$ , potem $b$ — nie pomijaj środkowego składnika.

Rozpoznawanie i rozkład na czynniki:

Sprawdź, czy pierwszy i ostatni składnik są kwadratami.
Sprawdź, czy środek to $\pm 2ab$ → wtedy $(a\pm b)^2$ .
Dwa kwadraty z minusem → różnica kwadratów $(a-b)(a+b)$ .

Infografika

Czy to pełny kwadrat? Rozpoznaj wzór od tyłu

sprawdzaj trzy rzeczy po kolei

Pierwszy składnik kwadratem?

np. 9x² = (3x)²

Ostatni składnik kwadratem?

np. 4 = 2²

Środek = ±2ab?

np. −12x = −2·3x·2 → (3x−2)²

Tylko dwa kwadraty z minusem?

to różnica kwadratów: (a−b)(a+b)

Pamiętaj: Najpierw kwadraty skrajne, potem środek. Brak wzoru rozkładu na a²+b² w liczbach rzeczywistych.

Geometryczne wzory skróconego mnożenia — kwadrat sumy podzielony na a², ab, ab, b²; kwadrat różnicy; różnica kwadratów jako prostokąt — Wzory skróconego mnożenia jako pola: (a+b)²=a²+2ab+b² to kwadrat podzielony na a², dwa prostokąty ab i b²; a²−b²=(a−b)(a+b) to wycięty kwadrat zamieniony w prostokąt.

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (rozwijanie). Rozwiń $(2x-3)^2$ . Tu $a=2x$ , $b=3$ :

(2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3

Przykład 2 (różnica kwadratów). $x$ , a także $4x^2-25=(2x)^2-5$ .

Przykład 3 (rozpoznanie pełnego kwadratu). $x$ . Ale $x$ to nie $(x+5)^2$ — brakuje środkowego $2ab=10x$ ; sama suma dwóch kwadratów (bez środka) nie jest pełnym kwadratem.

Przykład 4 (zadanie łączone). Uprość $(x-3)^2-(x+3)(x-3)$ . Pierwszy człon to kwadrat różnicy, drugi to różnica kwadratów:

(x-3)^2-(x+3)(x-3)=(x

Uwaga na minus przed nawiasem przy $-(x$ — zmienia znak obu składników. Zadanie łączy trzy rzeczy: kwadrat różnicy, różnicę kwadratów i minus przed nawiasem.

Mini-zadanie: rozłóż $9x^2-12x+4$ . Odpowiedź: $(3x)^2-2\cdot 3x\cdot 2+2$ .

Sprawdź się — mini-check

Rozwiń (x+4)².
Rozłóż różnicę kwadratów: 4x²−25.
Rozpoznaj pełny kwadrat: x²+10x+25.
Czy a²+b² da się rozłożyć w liczbach rzeczywistych?
Łączone: uprość (x−3)²−(x+3)(x−3).
Sześcian: rozwiń (a−b)³.

Typowe pułapki i błędy

$(a+b)^2=a$ . FAŁSZ — $(a+b)^2=a$ ; brakuje środkowego $2ab$ .
Kwadrat różnicy vs różnica kwadratów. $(a-b)^2=a$ (trójmian), a $a$ (iloczyn) — to dwa różne wzory.
Znak w $(a-b)^2$ . Minus dotyczy środkowego składnika: $a$ .
Suma kwadratów. $a$ nie ma wzoru rozkładu w liczbach rzeczywistych — wzór jest dla różnicy.
Kwadrat jednomianu. Gdy $a=2x$ , to $a$ , a nie $2x^2$ .

Jak to wygląda na maturze?

Wzory często są ukryte — zadanie wygląda jak zwykłe przekształcenie, ale najkrótsza droga to zauważyć wzór: rozkład na czynniki, skracanie ułamków algebraicznych, dowody, przekształcanie funkcji kwadratowej.

Wskazówka maturalna: gdy widzisz $x$ , pomyśl $x$ — to od razu pokazuje, że wyrażenie jest zawsze nieujemne. Najpierw spróbuj rozpoznać kwadraty.