Okrąg, kąty wpisane i środkowe — zadania maturalne

Klasa maturalnaMatura PPTen sam łukŚrednica daje 90°

W zadaniach z okręgiem najważniejsze jest rozpoznanie relacji między kątem wpisanym, środkowym, styczną i cięciwą. Gdy zobaczysz łuk albo kąt oparty na tym samym łuku, zadanie zwykle da się skrócić do jednej własności.

⏱ ~40 min

Okrąg, kąty wpisane i środkowe — zadania maturalne

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W okręgach sprawdzane są nie wzory, tylko własności kątów. Masz zauważyć, które kąty są oparte na tym samym łuku i jak zachowuje się styczna.

Sytuacja	Wniosek
kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku	środkowy jest dwa razy większy
dwa kąty wpisane na tym samym łuku	są równe
kąt wpisany oparty na średnicy	ma $90^\circ$
promień do punktu styczności	prostopadły do stycznej
czworokąt wpisany w okrąg	kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$

Poziom: kąty w okręgu to PP; dowody ze stycznymi i czworokątami wpisanymi to PR.

Główna reguła

\alpha_{\text{środkowy}}=2\,\alpha_{\text{wpisany}},\qquad \alpha_{\text{wpisany}}=\tfrac12\,\alpha_{\text{środkowy}}

Reguła $2:1$ działa tylko dla tego samego łuku. Najpierw zaznacz łuk, na którym oparte są oba kąty — bez tego relacja może być fałszywa.

Trzy okręgi obok siebie — panel 1 kąt środkowy 120° i wpisany 60° na tym samym łuku (relacja 2:1), panel 2 kąt wpisany oparty na średnicy równy 90°, panel 3 styczna w punkcie T z promieniem prostopadłym — Trzy najczęstsze konfiguracje: kąt środkowy = 2 × wpisany na tym samym łuku; kąt wpisany oparty na średnicy = 90°; promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak rozwiązać zadanie z okręgiem

Zaznacz elementy

środek • promienie • średnica • styczne • cięciwy

Znajdź wspólny łuk

na jakim łuku opierają się kąty?

Środkowy i wpisany

ten sam łuk → relacja 2:1

Średnica lub styczna

na średnicy 90°; styczna → dorysuj promień (r ⊥)

Czworokąt wpisany

kąty przeciwległe: α + γ = 180°

Dolicz resztę

z sumy kątów w trójkącie lub czworokącie

Przykład

Przykład 1 — ten sam łuk

Kąt środkowy oparty na łuku ma 120^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — kąt na średnicy

AB to średnica, C leży na okręgu. Kąt wpisany oparty na średnicy: \angle ACB=90^\circ ⚠️ 90^\circ daje tylko kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) — nie każdy kąt przy okręgu.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — czworokąt wpisany

W czworokącie wpisanym \angle A=72^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — styczna (dorysuj promień)

PT jest styczną do okręgu w punkcie T , O to środek. Promień OT jest prostopadły do stycznej, więc \angle OTP=90^\circ .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Zadanie zamknięte (ABCD)

Na okręgu leżą punkty A,B,C,D ; kąty \angle ACB i \angle ADB są oparte na tym samym łuku AB (wierzchołki C,D po tej samej stronie cięciwy). Co z tego wynika?

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Mnożenie kąta środkowego przez 2 . To kąt wpisany jest połową środkowego ( \alpha {\text{śr}}=2\alpha {\text{wp}} ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: zaznacz łuk, rozpoznaj typ kąta, użyj relacji 2:1 (ten sam łuk), 90^\circ na średnicy, r\perp styczna i \alpha+\gamma=180^\circ w czworokącie wpisanym — potem dolicz resztę z sumy kątów.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość