Trzy postaci funkcji kwadratowej — sprawne przechodzenie

Klasa maturalnaMatura PPTrzy postaci paraboli

Funkcja kwadratowa na maturze to głównie szybkie dobranie właściwej postaci: ogólnej, kanonicznej albo iloczynowej. Jeśli rozpoznasz, której postaci potrzebuje pytanie, zadanie zwykle robi się mechanicznie.

⏱ ~28 min

Trzy postaci funkcji kwadratowej — sprawne przechodzenie

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

Funkcja kwadratowa łączy wykres, równania, nierówności i zadania tekstowe. Na maturze rzadko chodzi o definicję — częściej dostajesz fragment informacji i musisz wybrać najlepszą postać.

Postać	Wzór	Najlepsza, gdy pytają o…
ogólna	$f(x)=ax^2+bx+c$	$\Delta$ , przecięcie z $OY$ , szybkie podstawianie
kanoniczna	$f(x)=a(x-p)^2+q$	wierzchołek $W=(p,q)$ , min/max, przesunięcia
iloczynowa	$f(x)=a(x-x$	miejsca zerowe, znak funkcji, nierówności

Warunek: zawsze $a\neq0$ . Poziom: matura podstawowa + PR (parametry, optymalizacja).

Postać iloczynowa istnieje w $\mathbb{R}$ tylko gdy $\Delta\ge0$ . Dla $\Delta>0$ są dwa różne miejsca zerowe $x$ ; dla $\Delta=0$ jedno podwójne i $f(x)=a(x-x$ ; dla $\Delta<0$ nie ma rzeczywistych miejsc zerowych — postaci iloczynowej brak.

Którą postać wybrać? (decyzja z danych)

masz miejsca zerowe $x$ → iloczynowa
masz wierzchołek $(p,q)$ → kanoniczna
masz $a,b,c$ / chcesz $\Delta$ lub przecięcie z $OY$ → ogólna

Przejścia: ogólna → $\Delta$ → miejsca zerowe; ogólna → $p=-\dfrac{b}{2a},\ q=f(p)$ ; kanoniczna/iloczynowa → wymnóż nawiasy → ogólna. Zawsze sprawdź znak $a$ : $a>0$ ramiona w górę (minimum), $a<0$ w dół (maksimum).

Wzory pomostowe (ogólna → kanoniczna / iloczynowa):

p=-\frac{b}{2a},\qquad q=f(p)=-\frac{\Delta}{4a},\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\ \ (\Delta\ge0)

Parabola f(x)=(x-1)(x-5) z miejscami zerowymi 1 i 5, wierzchołkiem W=(3,-4) i przecięciem z OY w (0,5); obok trzy karty — ogólna x^2-6x+5, kanoniczna (x-3)^2-4, iloczynowa (x-1)(x-5) — Ten sam wykres opisują trzy postaci: ogólna eksponuje Δ i przecięcie z OY, kanoniczna wierzchołek W=(3,-4), iloczynowa miejsca zerowe 1 i 5. Dobierz postać pod pytanie, nie pod nawyk.

Przykład

Przykład 1 — pełne przejście (kanoniczna → ogólna → iloczynowa)

$f(x)=2(x-3)^2-8$ (postać kanoniczna). Wierzchołek $W=(3,-8)$ .

Miejsca zerowe: $2(x-3)^2-8=0 \Rightarrow (x-3)^2=4 \Rightarrow x=1 \text{ lub } x=5$ .

Postać ogólna: $f(x)=2(x$ .

Postać iloczynowa (mamy miejsca zerowe i $a=2$ ):

f(x)=2(x-1)(x-5)

Ta sama parabola, trzy zapisy — każdy akcentuje co innego.

Przykład

Przykład 2 — odwrotnie (z iloczynowej do wierzchołka)

f(x)=-(x+2)(x-4) . Miejsca zerowe x 1=-2 , x 2=4 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — z ogólnej do wszystkich

f(x)=x^2-6x+5 . Liczymy \Delta=36-20=16 , \sqrt\Delta=4 , więc x=\dfrac{6\pm4}{2} → x 1=1,\ x 2=5 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- Wierzchołek jako W=(-p,q) . W f(x)=a(x-p)^2+q wierzchołek to W=(p,q) ; dla x-3 jest p=3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Każda postać opisuje tę samą parabolę, tylko akcentuje inne dane. Klucz: dobierz postać do pytania, pilnuj znaku w (x-p) i znaku a , i sprawdzaj wynik punktem testowym.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość