NexTutor
Dział MAT.M.12›Równanie prostej i wzajemne położenie — zadania maturalne

Równanie prostej i wzajemne położenie — zadania maturalne

Klasa maturalnaMatura PPNachylenie prostejPionowa = osobny przypadek

W geometrii analitycznej prosta to najczęściej wybór właściwej postaci równania: kierunkowej, ogólnej albo przez dwa punkty. Jeśli umiesz szybko znaleźć współczynnik kierunkowy i rozpoznać równoległość lub prostopadłość, wiele zadań maturalnych robi się mechanicznie.

⏱ ~39 min
Równanie prostej i wzajemne położenie — zadania maturalne

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

CKE daje punkty za konkretne umiejętności: równanie prostej, równoległość/prostopadłość, punkt przecięcia i użycie tego w zadaniu geometrycznym.

PostaćKiedy wygodna?Co czytasz?
y=ax+by=ax+błatwe nachylenieaa — nachylenie, bb — przecięcie z OYOY
Ax+By+C=0Ax+By+C=0odległość punktu od prostejA,B,CA,B,C do wzoru
przez dwa punktydane A(x1,y1),B(x2,y2)A(x1,y1),B(x2,y2)a=y2−y1x2−x1a=\dfrac{y2-y1}{x2-x1}

Poziom: typowe zadania z prostą to PP; łączenie z okręgami, parametrem i dowodem to PR.

Słownictwo

Współczynnik kierunkowy — warunek

a=y2−y1x2−x1,x1≠x2a=\frac{y2-y1}{x2-x1},\qquad x1\neq x2

Równanie prostej przez punkt (x0,y0)(x0,y0) o nachyleniu aa:

y−y0=a(x−x0)y-y0=a(x-x0)

Prosta pionowa (x1=x2x1=x2) ma postać x=cx=c i nie ma postaci kierunkowej y=ax+by=ax+b ani współczynnika aa. Sprawdzaj ten przypadek na starcie.

Relacja prostychWarunek
równoległea1=a2a1=a2, b1≠b2b1\neq b2
ta sama prostaa1=a2a1=a2, b1=b2b1=b2
prostopadłea1a2=−1a_1a_2=-1 (np. 22 i −12-\tfrac12)
pozioma i pionoway=dy=d i x=cx=c — prostopadłe, ale bez a1a2a_1a_2
pionowax=cx=c — brak współczynnika aa
Wizualizacja· Nachylenie decyduje o relacji prostych
Układ współrzędnych z czterema prostymi — bazowa y=½x+1, równoległa y=½x−2, prostopadła y=−2x+1 i pionowa x=3 — oraz panel Warunki: równoległe a1=a2, ta sama prosta, prostopadłe a1·a2=−1, pionowa x=c bez a
Równoległość i prostopadłość wynikają z nachylenia: a₁=a₂ (równoległe), a₁·a₂=−1 (prostopadłe). Prosta pionowa x=c to osobny przypadek — nie ma współczynnika kierunkowego.

Co zauważyć: Zanim policzysz relację, sprawdź, czy któraś prosta nie jest pionowa (x=c).

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak wyznaczyć prostą i relację

1

Sprawdź przypadek pionowy

te same x → prosta x=c (bez a)

2

Policz nachylenie

a=(y2−y1)/(x2−x1)

3

Wyznacz b

wstaw punkt do y=ax+b

4

Relacja prostych

równoległe a1=a2; prostopadłe a1·a2=−1

5

Punkt przecięcia

rozwiąż układ → zapisz jako para (x • y)

Przykład

Przykład 1 — prosta przez dwa punkty

A(1,2) , B(3,6) : a=\frac{6-2}{3-1}=2,\qquad 2=2\cdot1+b \Rightarrow b=0,\qquad y=2x

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — prosta pionowa

A(2,1) , B(2,5) : tu x 1=x 2=2 , więc prosta to x=2 — nie liczymy współczynnika kierunkowego.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — prosta prostopadła przez punkt

Do y=3x-4 prosta prostopadła ma a=-\dfrac13 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — punkt przecięcia

Proste y=2x+1 i y=-x+4 . Przyrównaj prawe strony (rozwiąż układ): 2x+1=-x+4 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1,\qquad y=2\cdot1+1=3 Punkt przecięcia: P=(1,3) — zapisany jako para współrzędnych.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Zadanie zamknięte (ABCD)

Prosta prostopadła do y=2x+5 ma współczynnik kierunkowy: - A. 2 - B.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- a=\dfrac{x 2-x 1}{y 2-y 1} . Poprawnie a=\dfrac{y 2-y 1}{x 2-x 1} (zmiana y na zmianę x ).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: policz a (pilnuj x 1\neq x 2 ), wyznacz b , dla relacji prostych użyj a 1=a 2 / a 1a 2=-1 , a punkt przecięcia podaj jako parę współrzędnych. Prosta pionowa to osobny przypadek.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Współczynnik kierunkowy

Liczba a w równaniu y=ax+b; mówi, jak szybko prosta rośnie albo maleje

Postać kierunkowa

Równanie y=ax+b, wygodne do odczytania nachylenia prostej

Postać ogólna

Równanie Ax+By+C=0, często używane przy odległości punktu od prostej

Proste równoległe

Proste o tym samym współczynniku kierunkowym, które się nie przecinają

Proste prostopadłe

Proste, których współczynniki kierunkowe spełniają a₁·a₂=−1

Punkt przecięcia

Para współrzędnych, która spełnia równania obu prostych

Materiały ZPE

3 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Odległość dwóch punktów∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}Środek odcinkaS=(x1+x22,y1+y22)S=\left(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\right)Równanie kierunkowe prostejy=ax+by=ax+bWspółczynnik kierunkowy z dwóch punktówa=y2−y1x2−x1a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}Warunek równoległościa1=a2a_1=a_2Warunek prostopadłościa1⋅a2=−1a_1\cdot a_2=-1Odległość punktu od prostejd=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Materiał z klas 1–4

Lekcje klasowe z tym materiałem

Odległość i środek odcinka — wzory i zadaniaRównanie prostej — postaci i wzajemne położenie prostychOdległość punktu od prostej i zastosowania
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:8%
← Powrót do działuNastępna lekcja →