Walec, stożek, kula — wzory i zadania

Klasa maturalnaMatura PPPromień, wysokość, tworzącaŚrednica to nie promień

Bryły obrotowe są łatwiejsze, jeśli od razu podpiszesz promień, wysokość i tworzącą. W walcu najczęściej liczysz z r i H, w stożku dodatkowo pojawia się tworząca l, a w kuli wszystko zależy od promienia.

⏱ ~35 min

Słownictwo

Co CKE najczęściej sprawdza?

W zadaniach o bryłach obrotowych CKE sprawdza: dobór wzoru, rozróżnienie promienia/średnicy/wysokości/tworzącej, Pitagorasa w przekroju osiowym stożka, jednostki i rozdzielenie pola bocznego od całkowitego.

Bryła	Objętość	Pole całkowite
walec	$V=\pi r$	$P$
stożek	$V=\dfrac{1}{3}\pi r$	$P$
kula	$V=\dfrac{4}{3}\pi r$	$P=4\pi r$

W stożku tworząca $l$ z przekroju osiowego:

l

Poziom: matura podstawowa; przekroje i bryły wpisane/opisane to PR.

Średnica to nie promień

d=2r \;\Rightarrow\; r=\frac{d}{2}

Wzory używają promienia. Jeśli dana jest średnica $d=10$ , to $r=5$ — pomyłka daje wynik kilka razy za duży (pole $\times4$ , objętość kuli $\times8$ ).

Stożek 3D z zaznaczoną wysokością H, tworzącą l i promieniem r oraz wyciągnięty przekrój osiowy — trójkąt prostokątny o bokach r, H, l; wzory V=⅓πr²H (używa H) oraz P_b=πrl (używa l) i zależność l²=r²+H² — W stożku objętość używa wysokości H (V=⅓πr²H), a pole boczne tworzącej l (P_b=πrl). Tworzącą liczysz z przekroju osiowego: l²=r²+H². To najczęstsza pułapka brył obrotowych; walec i kula (r, H, d=2r) są prostsze.

Schemat rozwiązania zadania

Infografika

Jak rozwiązać zadanie z bryłą obrotową

Zapisz oznaczenia

co jest r • H • l — nie licz w pamięci

Średnica czy promień?

d=2r → jeśli dana jest d • podziel przez 2

Stożek? policz tworzącą

l z Pitagorasa: l²=r²+H²

Co pytają: V, P_b czy P_c?

pole boczne vs całkowite to różne wielkości

Podstaw do wzoru

pole boczne stożka używa l; objętość używa H

Forma wyniku

zostaw π bez potrzeby; pole cm² • objętość cm³

Przykład

Przykład 1 — pole całkowite stożka

r=6 , H=8 . Najpierw tworząca: l^2=r^2+H^2=36+64=100 \Rightarrow l=10 P c=\pi r^2+\pi rl=36\pi+60\pi=96\pi (W pole boczne wchodzi tworząca l=10 , nie wysokość H=8 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 2 — objętość walca

r=4 , H=7 : V=\pi r^2H=\pi\cdot16\cdot7=112\pi Pole boczne vs całkowite (walec): P b=2\pi rH (sam bok), P c=2\pi r^2+2\pi rH (bok plus dwie podstawy).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 3 — pole kuli ze średnicy

d=10 \Rightarrow r=5 : P=4\pi r^2=4\pi\cdot25=100\pi

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład 4 — objętość stożka ze średnicy

d=12 , H=9 . Najpierw promień: r=\dfrac{d}{2}=6 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- H zamiast l w polu bocznym stożka. P b=\pi rl zależy od tworzącej.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Klucz: rozpoznaj bryłę, zamień średnicę na promień, w stożku policz l z Pitagorasa (pole boczne \to l , objętość \to H ), rozdziel pole boczne od całkowitego i zostaw \pi .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość