NexTutor
Dział MAT.M.1›Potęgi, pierwiastki, logarytmy — zadania maturalne

Potęgi, pierwiastki, logarytmy — zadania maturalne

Klasa maturalnaMatura PPPotęgi, pierwiastki, logarytmy

Potęgi, pierwiastki i logarytmy na maturze sprawdzają głównie jedno: czy umiesz szybko zamienić zapis na wygodniejszy. Gdy widzisz pierwiastek, szukaj potęgi o wykładniku ułamkowym; gdy widzisz logarytm, wróć do definicji.

⏱ ~36 min
Potęgi, pierwiastki, logarytmy — zadania maturalne

Co CKE najczęściej sprawdza?

W tym dziale matura nie pyta o teorię dla teorii — dostajesz krótki rachunek, w którym trzeba rozpoznać właściwe prawo działań i nie zgubić znaku, nawiasu ani dziedziny.

Najczęstsze typy: upraszczanie potęg o tej samej podstawie, zamiana pierwiastków na potęgi, usuwanie niewymierności z mianownika, logarytmy z definicji, własności logarytmów, porównywanie liczb w postaci potęg/logarytmów.

Poziom: maturalny podstawowy + elementy rozszerzenia. Najpierw rozpoznaj typ wyrażenia, potem wybierz prawo.

Słownictwo

Wzory — potęgi i pierwiastki (z warunkami)

DziałanieWzór
mnożenie potęgam⋅an=am+nam\cdot an=a^{m+n}
dzielenie potęgaman=am−n  (a≠0)\dfrac{am}{an}=a^{m-n}\ \ (a\neq0)
potęga potęgi(am)n=amn(am)^n=a^{mn}
pierwiastek jako potęgaan=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

⚠️ Pierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna

x2=∣x∣\sqrt{x2}=\lvert x\rvert

Nie x2=x\sqrt{x2}=x. Pierwiastek arytmetyczny jest nieujemny: dla x=−3x=-3 mamy (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3, a nie −3-3. To jeden z najczęstszych błędów maturalnych.

Wzory — logarytmy (z warunkami)

\log a b=c \iff a^c=b,\qquad a 0,\ a\neq1,\ b 0 \log a(xy)=\log a x+\log a y \qquad \log a\frac{x}{y}=\log a x-\log a y \qquad \log a x^{r}=r\log a x (własności iloczynu/ilorazu/potęgi: x 0,\ y 0 ). Podstawa a 0,\ a\neq1 ; argument zawsze dodatni.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Słownictwo

Schemat — co sprawdzam najpierw?

Co dominuje? Co robisz --- --- potęga sprowadź do wspólnej podstawy pierwiastek wyłącz czynnik (rozbij liczbę) albo zamień na potęgę a^{1/n} logarytm sprawdź podstawę i argument → użyj definicji , potem własności Na końcu sprawdź, czy wynik spełnia warunki…

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykłady maturalne

Przykład 1 (pierwiastki). Uprość \dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{8}}{\sqrt2} : \sqrt{50}=5\sqrt2,\quad \sqrt8=2\sqrt2 \;\Rightarrow\; \frac{5\sqrt2-2\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt2}=3 Przykład 2 (mieszany).

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie PR — zmiana podstawy logarytmu

Gdy logarytmy mają różne podstawy, użyj wzoru (dla c 0,\ c\neq1 ): \log a b=\frac{\log c b}{\log c a} Pozwala sprowadzić wszystko do jednej podstawy (np. 10 lub 2 ) i przekształcać trudniejsze wyrażenia logarytmiczne.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe błędy, za które tracisz punkty

- \sqrt{x^2}=x . Poprawnie \sqrt{x^2}=\lvert x\rvert — pierwiastek arytmetyczny jest nieujemny.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Punkty zdobywasz za dobór prawa i poprawny zapis warunków, nie za zgadnięty wynik. Kolejność: rozpoznaj typ → sprawdź warunki (dziedzina, podstawa, argument) → zamień pierwiastki na potęgi / sprowadź do wspólnej podstawy → policz → sprawdź postać odpowiedzi.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Potęga

Zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby, np. 2⁵ oznacza 2·2·2·2·2.

Pierwiastek

Liczba, która po podniesieniu do odpowiedniej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem.

Potęga o wykładniku ułamkowym

Inny zapis pierwiastka, np. √a=a^(1/2).

Logarytm

Odpowiedź na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę.

Argument logarytmu

Liczba logarytmowana; musi być dodatnia.

Podstawa logarytmu

Liczba, którą podnosimy do potęgi; musi być dodatnia i różna od 1.

Materiały ZPE

3 materiały

Wzory w tablicach

Powiązane wzory maturalne

Iloczyn potęg o tej samej podstawieam⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}Iloraz potęgaman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}Potęga potęgi(am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}Potęga iloczynu(ab)n=anbn(ab)^n=a^n b^nPotęga o wykładniku ujemnyma−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}Pierwiastek jako potęgaamn=am/n\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}Pierwiastek iloczynuabn=an bn\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}Definicja logarytmulog⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c \iff a^c=bLogarytm iloczynulog⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_a x+\log_a yLogarytm ilorazulog⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a\tfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a yLogarytm potęgilog⁡axk=klog⁡ax\log_a x^k=k\log_a xZmiana podstawy logarytmulog⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

Materiał z klas 1–4

Lekcje klasowe z tym materiałem

Pierwiastki i potęgi — wzory i prawa działańLogarytmy — definicja, własności i obliczenia
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:9%
← Powrót do działuNastępna lekcja →